Determine a altura do cilindro circular reto, de volume máximo, inscrito na esfera de raio R dado.

Passo 1

Beleza, o enunciado fala de um cilindro de raio r e altura h inscrito numa esfera de raio R, e pede o valor de h que faz o volume do cilindro ficar máximo. Vamos usar geometria para relacionar r e h e depois otimização de função.

Passo 2

Como o cilindro está centralizado na esfera, a geratriz forma um triângulo retângulo de catetos r e h/2 e hipotenusa R. Logo,
r^2 + (h2)^2 = R^2

Passo 3

O volume do cilindro é V = pi r^2 h. Substituindo r^2 = R^2 - tfrach^24, vira
V(h) = pi l(R^2 - tfrach^24r),h

Passo 4

Agora a gente maximiza V(h). Derivando:
V'(h) = pi l(R^2 - tfrac3h^24r)
Igualando a zero dá
R^2 - tfrac3h^24 = 0

Passo 5

Desse jeito
h^2 = 4R^23 Longrightarrow h = 2Rraiz3
Como a segunda derivada é negativa aqui, de fato é máximo.

Resposta

A altura do cilindro de volume máximo é
h = 2Rraiz3

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