Determine a altura do cilindro circular reto, de volume máximo, inscrito na esfera de raio
dado.
Passo 1
Beleza, o enunciado fala de um cilindro de raio
e altura
inscrito numa esfera de raio
, e pede o valor de
que faz o volume do cilindro ficar máximo. Vamos usar geometria para relacionar
e
e depois otimização de função.
Passo 2
Como o cilindro está centralizado na esfera, a geratriz forma um triângulo retângulo de catetos
e
e hipotenusa
. Logo,
Passo 3
O volume do cilindro é
. Substituindo
, vira
Passo 4
Agora a gente maximiza
. Derivando:
Igualando a zero dá
Passo 5
Desse jeito
Como a segunda derivada é negativa aqui, de fato é máximo.
Resposta
A altura do cilindro de volume máximo é