Calcule
d) integral x cosh x d x
e) integral sen x(1+cos x)^3 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular duas integrais indefinidas: (d) integral xcosh x,dx e (e) integral sin x(1+cos x)^3,dx. O conteúdo envolvido é integração por partes para (d) e substituição simples para (e). Vamos usar a fórmula de integração por partes integral u,dv = u v - integral v,du e a substituição trigonométrica via t=1+cos x.

Passo 2

Para a integral (d), tomamos u = x e dv = cosh x,dx. Então temos
du = dx, v = sinh x
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral xcosh x,dx = xsinh x - integral sinh x,dx
Como integral sinh x,dx = cosh x, concluímos:
integral xcosh x,dx = xsinh x - cosh x + C

Passo 3

Para a integral (e), observe que sin x,dx = -d(cos x). Fazemos a substituição
t = 1+cos x, dt = -sin x,dx implies sin x,dx = -dt

Passo 4

A integral fica
integral sin x(1+cos x)^3,dx = -integral dtt^3 = -integral t^-3,dt

Passo 5

Integrando,
-integral t^-3,dt = -t^-2-2 + C = 12t^-2 + C

Passo 6

Voltando a t=1+cos x, obtemos
integral sin x(1+cos x)^3,dx = 12(1+cos x)^2 + C

Resposta

d) xsinh x - cosh x + C
e) 12(1+cos x)^2 + C

Exercícios relacionados