Calcule as seguintes integrais:
k)
-
k)
Passo 1
Temos duas integrais para calcular:
- (k) a integral definida
, que vamos resolver usando integração por partes. - (l) a integral indefinida
, que vamos resolver primeiro com substituição e depois integração por partes.
Passo 2
Para a integral (k), usamos a fórmula de integração por partes, que diz:
Escolhemos:
Então:
Aplicando partes:
Como é definida de 0 a 1, avaliamos:
[
\biggl[\frac{x2^{x}}{\ln(2)} - \frac{2{x}}{(\ln(2)){2}}\biggr]_{0}^{1} = \Bigl(\frac{2}{\ln(2)} - \frac{2}{(\ln(2))^{2}}\Bigr) - \Bigl(0 - \frac{1}{(\ln(2))^{2}}\Bigr) = \frac{2}{\ln(2)} - \frac{1}{(\ln(2))^{2}}.
\biggl[\frac{x2^{x}}{\ln(2)} - \frac{2{x}}{(\ln(2)){2}}\biggr]_{0}^{1} = \Bigl(\frac{2}{\ln(2)} - \frac{2}{(\ln(2))^{2}}\Bigr) - \Bigl(0 - \frac{1}{(\ln(2))^{2}}\Bigr) = \frac{2}{\ln(2)} - \frac{1}{(\ln(2))^{2}}.
Passo 3
Para a integral (l), fazemos a substituição
Assim:
Agora aplicamos integração por partes em
. Usando duas partes e resolvendo o sistema, chega-se ao resultado:
Retornando à variável
:
Resposta
Para (k):
Para (l):