Calcule as seguintes integrais:
k) integral0^1 x 2^x d x
  1. integral cos (ln (x)) d x

Passo 1

Temos duas integrais para calcular:
  • (k) a integral definida integral0^1 x2^x,dx, que vamos resolver usando integração por partes.
  • (l) a integral indefinida integral cos(ln(x)),dx, que vamos resolver primeiro com substituição t=ln(x) e depois integração por partes.

Passo 2

Para a integral (k), usamos a fórmula de integração por partes, que diz:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolhemos:
u = x, dv = 2^x,dx
Então:
du = dx, v = integral 2^x,dx = 2^xln(2)
Aplicando partes:
integral x2^x,dx = x2^xln(2) - integral 2^xln(2),dx = x2^xln(2) - 1ln(2)integral 2^x,dx = x2^xln(2) - 2^x(ln(2))^2 + C
Como é definida de 0 a 1, avaliamos:
[
\biggl[\frac{x2^{x}}{\ln(2)} - \frac{2{x}}{(\ln(2)){2}}\biggr]_{0}^{1} = \Bigl(\frac{2}{\ln(2)} - \frac{2}{(\ln(2))^{2}}\Bigr) - \Bigl(0 - \frac{1}{(\ln(2))^{2}}\Bigr) = \frac{2}{\ln(2)} - \frac{1}{(\ln(2))^{2}}.

Passo 3

Para a integral (l), fazemos a substituição
t = ln(x), x = e^t, dx = e^t,dt
Assim:
integral cos(ln(x)),dx = integral cos(t),e^t,dt
Agora aplicamos integração por partes em integral e^tcos(t),dt. Usando duas partes e resolvendo o sistema, chega-se ao resultado:
integral e^tcos(t),dt = e^t2l(cos(t)+sin(t)r) + C
Retornando à variável x:
integral cos(ln(x)),dx = e^t2l(cos(t)+sin(t)r) + C = x2l(cos(ln(x)) + sin(ln(x))r) + C

Resposta

Para (k):
integral0^1 x2^x,dx = 2ln(2) - 1l(ln(2)r)^2
Para (l):
integral cosl(ln(x)r),dx = x2l(cos(ln(x)) + sin(ln(x))r) + C

Exercícios relacionados