Os gafanhotos são conhecidos por serem capazes de ocasionar danos às plantações. O desmatamento promove uma redução do número de predadores naturais, permitindo o aumento de indivíduos, além das mudanças climáticas que provocam um aumento da temperatura, o que favorece a proliferação de insetos. Um gafanhoto, cuja característica marcante é a presença do último par de pernas alongado e adaptado para saltos, salta para o alto, percorrendo uma trajetória descrita por h(x)=-3 x^2+30 x, em que h(x) é a altura em centímetros e x é a distância horizontal alcançada, também em centímetros. Determine a altura máxima (em cm ) atingida pelo gafanhoto no salto.

Passo 1

O enunciado descreve a altura do salto de um gafanhoto pela função quadrática h(x)=-3x^2+30x, onde h(x) é a altura em centímetros e x a distância horizontal em centímetros. O objetivo é achar a altura máxima atingida, isto é, o valor máximo de uma parábola que abre para baixo.

Passo 2

Uma função quadrática geral h(x)=ax^2+bx+c, com a<0, abre para baixo e tem um único ponto máximo no vértice. A abscissa do vértice é dada por xv=-tfracb2a. Aqui temos a=-3 e b=30. Vamos calcular a abscissa do vértice:
xv=-b2a=-302cdot(-3)=306=5,cm

Passo 3

Agora substituímos x=5 na função para encontrar a altura máxima:
h(5)=-3cdot5^2+30cdot5=-75+150=75

Passo 4

Portanto, a altura máxima do salto corresponde ao valor de h(5), que foi calculado como 75 cm.

Resposta

75 cm

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