1. Calcule a integral curvilínea
\int_{L}(y+z) d x+(z+x) d y+(x+y) d z
onde L é a circunferência x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x+y+z=0.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A integral curvilínea a calcular é
\int_{L}(y+z)\,dx+(z+x)\,dy+(x+y)\,dz.
  • O caminho L é a circunferência definida pela interseção das superfícies
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \qquad\text{e}\qquad x+y+z=0.
  • Observação importante: L é um laço fechado (uma circunferência), ou seja, começa e termina no mesmo ponto.
  • O que o enunciado pede é o valor numérico da integral dessa forma vetorial ao longo desse L.

Passo 2

Interpretação da integral como integral de linha de um campo vetorial e introdução da ideia de campo conservativo.
  • Podemos ver a integral dada como a integral de linha do campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) onde
P(x,y,z)=y+z,\qquad Q(x,y,z)=z+x,\qquad R(x,y,z)=x+y.
  • A integral escrita é \displaystyle\int_{L}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, que por definição vale
\int_{L}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.
  • Um atalho muito útil: se \mathbf{F} for um campo conservativo (isto é, existir uma função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}), então a integral de linha entre dois pontos é f(\text{final})-f(\text{inicial}). Para um caminho fechado isso dá zero, pois os pontos inicial e final coincidem.
  • Assim, uma estratégia natural é: verificar se \mathbf{F} é conservativo. Para isso podemos calcular o rotacional (curl) de \mathbf{F}.

Passo 3

Cálculo do rotacional (curl) de \mathbf{F} e interpretação.
  • O rotacional de \mathbf{F} é definido por
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
  • Calcular as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1, \qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(z+x)=1,
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y+z)=1, \qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(z+x)=1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y+z)=1.
  • Substituindo na fórmula do rotacional obtemos
\nabla\times\mathbf{F}=(1-1,\;1-1,\;1-1)=(0,0,0).
  • Conclusão: o rotacional de \mathbf{F} é o vetor nulo em todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 4

Consequência do rotacional nulo: \mathbf{F} é conservativo e existe uma função potencial f.
  • Em \mathbb{R}^{3} (que é simplesmente conexo) um campo vetorial com rotacional nulo é gradiente de alguma função escalar f. Ou seja, existe f(x,y,z) tal que
\nabla f=\mathbf{F},
isto é
\frac{\partial f}{\partial x}=P=y+z,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q=z+x,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=R=x+y.
  • Agora vamos achar essa função potencial f explicitamente: isso também é uma técnica de prova e útil para quem gosta de ver tudo “no papel”.

Passo 5

Construção passo a passo da função potencial f.
  • Integro a primeira igualdade \frac{\partial f}{\partial x}=y+z em relação a x, tratando y,z como constantes:
f(x,y,z)=\int (y+z)\,dx = x(y+z)+g(y,z),
onde g(y,z) é a “constante de integração” que pode depender de y e z.
  • Agora imposto a segunda igualdade \frac{\partial f}{\partial y}=z+x. Calculo \partial f/\partial y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial f}{\partial y}=x+\frac{\partial g}{\partial y}.
  • Igualando com Q=z+x segue
x+\frac{\partial g}{\partial y}=z+x \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=z.
  • Integro essa relação em y:
g(y,z)=\int z\,dy = yz + h(z),
onde h(z) é função arbitrária de z.
  • Finalmente uso a terceira igualdade \frac{\partial f}{\partial z}=x+y. Calculo \partial f/\partial z a partir de
f(x,y,z)=x(y+z)+yz+h(z)=xy+xz+yz+h(z).
Então
\frac{\partial f}{\partial z}=x+y+h'(z).
  • Igualando com R=x+y h'(z)=0, logo h(z) é constante. Podemos tomar essa constante igual a zero (potencial definido até uma constante).
  • Portanto uma função potencial válida é
f(x,y,z)=xy+xz+yz.
  • Verificação rápida: calcular \nabla f confirma que \nabla f=(y+z,z+x,x+y)=\mathbf{F}.

Passo 6

Usar a função potencial para avaliar a integral sobre a curva fechada L.
  • Para um campo conservativo com potencial f, a integral de linha ao longo de um caminho orientado de A para B é
\int_{A}^{B}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A).
  • No nosso caso L é uma curva fechada, isto é, o ponto final coincide com o ponto inicial. Portanto a integral de linha ao longo de L vale a diferença f(\text{final})-f(\text{inicial}) que é zero pois é a mesma posição.
  • Conclusão final: a integral pedida é igual a zero.

Passo 7

Comentário pedagógico e alternativa curta (sem calcular potencial).
  • Outra via rápida: como \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em todo o espaço e L é um laço fechado em \mathbb{R}^{3} (domínio simplesmente conexo), pelo teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos a integral sobre qualquer curva fechada é zero. Essa é a mesma conclusão em menos cálculo.
  • Dica para prova: sempre que o integrando for da forma P\,dx+Q\,dy+R\,dz, calcule o rotacional; se der zero e o domínio for simp. conexo, o campo é conservativo e qualquer integral sobre curva fechada é zero — muito economiza tempo.

Resposta

0

Exercícios relacionados