- Calcule a integral curvilínea
onde
é a circunferência
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A integral curvilínea a calcular é
- O caminho
é a circunferência definida pela interseção das superfícies
- Observação importante:
é um laço fechado (uma circunferência), ou seja, começa e termina no mesmo ponto. - O que o enunciado pede é o valor numérico da integral dessa forma vetorial ao longo desse
.
Passo 2
Interpretação da integral como integral de linha de um campo vetorial e introdução da ideia de campo conservativo.
- Podemos ver a integral dada como a integral de linha do campo vetorial
onde
- A integral escrita é
, que por definição vale
- Um atalho muito útil: se
for um campo conservativo (isto é, existir uma função potencial tal que ), então a integral de linha entre dois pontos é . Para um caminho fechado isso dá zero, pois os pontos inicial e final coincidem. - Assim, uma estratégia natural é: verificar se
é conservativo. Para isso podemos calcular o rotacional (curl) de .
Passo 3
Cálculo do rotacional (curl) de
e interpretação.
- O rotacional de
é definido por
- Calcular as derivadas parciais necessárias:
- Substituindo na fórmula do rotacional obtemos
- Conclusão: o rotacional de
é o vetor nulo em todo .
Passo 4
Consequência do rotacional nulo:
é conservativo e existe uma função potencial
.
- Em
(que é simplesmente conexo) um campo vetorial com rotacional nulo é gradiente de alguma função escalar . Ou seja, existe tal que
isto é
- Agora vamos achar essa função potencial
explicitamente: isso também é uma técnica de prova e útil para quem gosta de ver tudo “no papel”.
Passo 5
Construção passo a passo da função potencial
.
- Integro a primeira igualdade
em relação a , tratando como constantes:
onde
é a “constante de integração” que pode depender de
e
.
- Agora imposto a segunda igualdade
. Calculo a partir da expressão encontrada:
- Igualando com
segue
- Integro essa relação em
:
onde
é função arbitrária de
.
- Finalmente uso a terceira igualdade
. Calculo a partir de
Então
- Igualando com
dá , logo é constante. Podemos tomar essa constante igual a zero (potencial definido até uma constante). - Portanto uma função potencial válida é
- Verificação rápida: calcular
confirma que .
Passo 6
Usar a função potencial para avaliar a integral sobre a curva fechada
.
- Para um campo conservativo com potencial
, a integral de linha ao longo de um caminho orientado de para é
- No nosso caso
é uma curva fechada, isto é, o ponto final coincide com o ponto inicial. Portanto a integral de linha ao longo de vale a diferença que é zero pois é a mesma posição. - Conclusão final: a integral pedida é igual a zero.
Passo 7
Comentário pedagógico e alternativa curta (sem calcular potencial).
- Outra via rápida: como
em todo o espaço e é um laço fechado em (domínio simplesmente conexo), pelo teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos a integral sobre qualquer curva fechada é zero. Essa é a mesma conclusão em menos cálculo. - Dica para prova: sempre que o integrando for da forma
, calcule o rotacional; se der zero e o domínio for simp. conexo, o campo é conservativo e qualquer integral sobre curva fechada é zero — muito economiza tempo.
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