Seja
. Exprima
Calcule
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição
e pede duas coisas:
- Expressar
em função de , eliminando as derivações (ou seja, obter uma fórmula explícita sem os operadores nem ). - Calcular o valor de
no ponto .
Informações relevantes fornecidas:
-
denota a norma de . Definimos . - A expressão a manipular é o campo vetorial
.
A resolução começa agora.
Passo 2
Escrevendo a divergência como soma das derivadas parciais, temos
Vou calcular cada termo do tipo
com calma, usando regras básicas de derivação (produto/quotient e a regra da cadeia).
Passo 3
Calcular
.
Uma maneira simples é ver . Aplicando a regra do produto:
Uma maneira simples é ver
Agora calculamos
. Como
, pela regra da cadeia:
Substituindo,
Passo 4
Pelos mesmos passos (simetria nas variáveis) obtemos
Somando as três parcelas:
Como
, isso simplifica para
Portanto, para
,
Observação importante: no ponto
o campo
não está definido, logo a divergência também não é definida ali (singularidade no origem).
Passo 5
Agora calculo no ponto pedido
. Primeiro a norma:
Assim
Dica prática para a prova: reconhecer que
é o versor radial e que sua divergência em 3D é simplesmente
(fora da origem) salva tempo — mas sempre mostre rapidamente a conta por componentes se o examinador pedir.