Seja \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}. Exprima
\varphi=\operatorname{div}\left(\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\right), \text { em função de } \vec{r} \text { (eliminando as derivações). }çãçõ
Calcule \varphi no ponto P=(2,1,2).

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} e pede duas coisas:
  • Expressar \varphi=\operatorname{div}\!\left(\dfrac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\right) em função de \vec{r}, eliminando as derivações (ou seja, obter uma fórmula explícita sem os operadores \partial nem \nabla).
  • Calcular o valor de \varphi no ponto P=(2,1,2).
Informações relevantes fornecidas:
  • |\vec{r}| denota a norma de \vec{r}. Definimos r \coloneqq |\vec{r}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.
  • A expressão a manipular é o campo vetorial \dfrac{\vec r}{r}=\left(\dfrac{x}{r},\dfrac{y}{r},\dfrac{z}{r}\right).
    A resolução começa agora.

Passo 2

Escrevendo a divergência como soma das derivadas parciais, temos
\varphi=\nabla\cdot\left(\frac{\vec r}{r}\right) =\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{r}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{z}{r}\right), \qquad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Vou calcular cada termo do tipo \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{x}{r}\right) com calma, usando regras básicas de derivação (produto/quotient e a regra da cadeia).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{x}{r}\right).
Uma maneira simples é ver \dfrac{x}{r}=x\,r^{-1}. Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r}\right) =1\cdot r^{-1}+x\cdot(-1)r^{-2}\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{r}-\frac{x}{r^{2}}\frac{\partial r}{\partial x}.
Agora calculamos \dfrac{\partial r}{\partial x}. Como r=(x^2+y^2+z^2)^{1/2}, pela regra da cadeia:
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{r}.
Substituindo,
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{r}\right) = \frac{1}{r}-\frac{x}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r} = \frac{1}{r}-\frac{x^{2}}{r^{3}} = \frac{r^{2}-x^{2}}{r^{3}}.

Passo 4

Pelos mesmos passos (simetria nas variáveis) obtemos
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{r}\right)=\frac{r^{2}-y^{2}}{r^{3}}, \qquad \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{z}{r}\right)=\frac{r^{2}-z^{2}}{r^{3}}.
Somando as três parcelas:
\varphi =\frac{r^{2}-x^{2}}{r^{3}}+\frac{r^{2}-y^{2}}{r^{3}}+\frac{r^{2}-z^{2}}{r^{3}} =\frac{3r^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{r^{3}}.
Como x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, isso simplifica para
\varphi=\frac{3r^{2}-r^{2}}{r^{3}}=\frac{2r^{2}}{r^{3}}=\frac{2}{r}.
Portanto, para \vec r\neq \vec 0,
\varphi(\vec r)=\frac{2}{|\vec r|}.
Observação importante: no ponto \vec r=\vec 0 o campo \dfrac{\vec r}{|\vec r|} não está definido, logo a divergência também não é definida ali (singularidade no origem).

Passo 5

Agora calculo no ponto pedido P=(2,1,2). Primeiro a norma:
r_P=|\vec r(P)|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
Assim
\varphi(P)=\frac{2}{r_P}=\frac{2}{3}.
Dica prática para a prova: reconhecer que \dfrac{\vec r}{r} é o versor radial e que sua divergência em 3D é simplesmente 2/r (fora da origem) salva tempo — mas sempre mostre rapidamente a conta por componentes se o examinador pedir.

Resposta

\displaystyle \varphi(\vec r)=\frac{2}{|\vec r|}\quad(\vec r\neq\vec 0)
\displaystyle \varphi(P)=\frac{2}{3}

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