1. Calcule
\iint_{S} x^{2} d y d z+y^{2} d x d z+z^{2} d x d y
onde S é o lado exterior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x^{2}\,dy\,dz + y^{2}\,dx\,dz + z^{2}\,dx\,dy
onde S é a superfície externa da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.
Informações dadas:
  • A superfície S é a esfera de raio R centrada na origem, considerada com a orientação externa.
  • A expressão a integrar é a soma dos três diferenciais x^{2}\,dy\,dz, y^{2}\,dx\,dz e z^{2}\,dx\,dy.
O que é pedido:
  • Calcular numericamente o valor da integral de superfície acima (em função de R, se aparecer).

Passo 2

Interpretação da integral como fluxo de um campo vetorial. Existe uma identidade padrão que liga integrais do tipo P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy à componente normal de um campo vetorial sobre a superfície. Definindo o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(P,Q,R\bigr) = \bigl(x^{2},\,y^{2},\,z^{2}\bigr),
a integral dada pode ser escrita como o fluxo de \mathbf{F} através de S, isto é
\iint_{S} x^{2}\,dy\,dz + y^{2}\,dx\,dz + z^{2}\,dx\,dy = \iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário apontando para fora da esfera e dS é o elemento de área. Explicando devagar: o diferencial vetorial de área orientado pode ser escrito (formalmente) como
d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS = \bigl(dy\,dz,\,dz\,dx,\,dx\,dy\bigr),
portanto o produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} gera exatamente a combinação apresentada.

Passo 3

Escolha do método e justificativa. Como a integral é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada suave (a esfera) orientada externamente, é natural usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). Enunciado do teorema (versão usada):
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde V é o volume fechado por S (a bola de raio R) e \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}. As hipóteses estão satisfeitas porque \mathbf{F} tem componentes x^{2},y^{2},z^{2}, que são C^{1} em toda a bola.

Passo 4

Calcular a divergência de \mathbf{F}. Por definição
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}P + \frac{\partial}{\partial y}Q + \frac{\partial}{\partial z}R.
Aqui P=x^{2}, Q=y^{2}, R=z^{2}. Então
\frac{\partial}{\partial x}x^{2}=2x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}y^{2}=2y,\qquad \frac{\partial}{\partial z}z^{2}=2z,
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\nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + 2y + 2z = 2\,(x+y+z).

Passo 5

Aplicar o Teorema da Divergência e reduzir a integral de superfície a uma integral de volume:
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V} 2\,(x+y+z)\,dV = 2\left(\iiint_{V} x\,dV + \iiint_{V} y\,dV + \iiint_{V} z\,dV\right),
onde V é a bola \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2}\}.

Passo 6

Avaliar cada integral usando simetria. A bola V é simétrica em relação à origem; para uma função ímpar em x (isto é, f(-x,-y,-z)=-f(x,y,z)) a integral sobre a bola é zero. As funções x, y e z são ímpares em suas variáveis respectivas, portanto
\iiint_{V} x\,dV = 0,\qquad \iiint_{V} y\,dV = 0,\qquad \iiint_{V} z\,dV = 0.
(Argumento alternativo rápido: em coordenadas esféricas a parte angular que multiplica x envolve \cos\varphi cujo integral sobre a esfera é zero.)

Passo 7

Concluir o valor da integral. Substituindo os resultados anteriores:
\iint_{S} x^{2}\,dy\,dz + y^{2}\,dx\,dz + z^{2}\,dx\,dy = 2\bigl(0+0+0\bigr)=0.

Resposta

0

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