- Calcule
onde
é o lado exterior da esfera
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a superfície externa da esfera
Informações dadas:
- A superfície
é a esfera de raio centrada na origem, considerada com a orientação externa. - A expressão a integrar é a soma dos três diferenciais
, e .
O que é pedido:
- Calcular numericamente o valor da integral de superfície acima (em função de
, se aparecer).
Passo 2
Interpretação da integral como fluxo de um campo vetorial. Existe uma identidade padrão que liga integrais do tipo
à componente normal de um campo vetorial sobre a superfície. Definindo o campo vetorial
a integral dada pode ser escrita como o fluxo de
através de
, isto é
onde
é o vetor normal unitário apontando para fora da esfera e
é o elemento de área. Explicando devagar: o diferencial vetorial de área orientado pode ser escrito (formalmente) como
portanto o produto escalar
gera exatamente a combinação apresentada.
Passo 3
Escolha do método e justificativa. Como a integral é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada suave (a esfera) orientada externamente, é natural usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). Enunciado do teorema (versão usada):
onde
é o volume fechado por
(a bola de raio
) e
é a divergência de
. As hipóteses estão satisfeitas porque
tem componentes
, que são
em toda a bola.
Passo 4
Calcular a divergência de
. Por definição
Aqui
,
,
. Então
logo
Passo 5
Aplicar o Teorema da Divergência e reduzir a integral de superfície a uma integral de volume:
onde
é a bola
.
Passo 6
Avaliar cada integral usando simetria. A bola
é simétrica em relação à origem; para uma função ímpar em
(isto é,
) a integral sobre a bola é zero. As funções
,
e
são ímpares em suas variáveis respectivas, portanto
(Argumento alternativo rápido: em coordenadas esféricas a parte angular que multiplica
envolve
cujo integral sobre a esfera é zero.)
Passo 7
Concluir o valor da integral. Substituindo os resultados anteriores: