Calcule integral d xraiz6 x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado da expressão dentro da raiz: - (x^2 - 6x) . Reescrevendo, temos x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 . Podemos fatorar o coeficiente de 6x - x^2 = -[(x - 3)^2 - 9] = 9 - (x - 3)^2 :
Agora, completamos o quadrado para :
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral dxraiz9 - (x - 3)^2
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja integral duraiz9 - u^2 , então . A integral fica:

Passo 4

Essa é uma integral padrão que resulta no arco seno. Sabemos que:
integral duraiza^2 - u^2 = arcsin(ua) + C
Aqui, arcsin(u3) + C , então aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, substituímos arcsin(x - 33) + C de volta para :

Resposta

A integral é:
arcsin(x - 33) + C

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