(b) (16 pontos) Determine o valor das constantes A e B para que a função f seja contínua em R.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir os valores de e para que essa função seja contínua em todos os números reais. Isso significa que não pode ter “saltos” ou “buracos” no gráfico da função, ou seja, os limites das funções nas junções das partes precisam ser iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para onde a função muda de uma regra para outra. No caso, as mudanças acontecem em e . Para que a função seja contínua nesses pontos, o limite pela esquerda precisa ser igual ao valor na função e ao limite pela direita.
Passo 3
Vamos começar em limx to 2^- f(x) = 2 + 1 = 3 . Para f(2) = 2^2 + A cdot 2 - B = 4 + 2A - B , a função é 4 + 2A - B = 3 . Então, o limite quando 2A - B = -1 (Equação 1) se aproxima de 2 pela esquerda é:
Agora, para , a função é . No ponto , o valor da função é:
Para a continuidade em , temos que:
Isso nos dá a primeira equação:
çã
Passo 4
Agora, vamos para f(3) = 3^2 + A cdot 3 - B = 9 + 3A - B . Para limx to 3^+ f(x) = A cdot 3 + 4 = 3A + 4 , a função é 9 + 3A - B = 3A + 4 . O valor da função em 9 - B = 4 implies B = 5 é:
Para , a função é . O limite quando se aproxima de 3 pela direita é:
Para a continuidade em , temos que:
Simplificando:
Então, encontramos .
Passo 5
Agora que sabemos que 2A - 5 = -1 , podemos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar 2A = 4 implies A = 2 :