Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é o disco com centro na origem e raio 3
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se calcular a integral dupla
. - A região
é o disco centrado na origem com raio . Ou seja, . - A letra
aparece no integrando; aqui vou assumir que é uma constante real (se for função de a solução muda, mas o enunciado sugere constante). - A diferencial de área indicada no enunciado é
(ou equivalente): é a área elementar no plano.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares e como funcionam (aula rápida e prática):
- Para discos centrados na origem, coordenadas polares são naturais porque descrevem a região com limites simples:
vai de até o raio e cobre o ângulo. - As conversões são:
onde é a distância ao origem e é o ângulo medido a partir do eixo . - A diferencial de área em coordenadas polares é
Explicação intuitiva do : o retângulo em tem lados aproximadamente e , então a área elementar é . - Como o disco tem raio
, os limites em polares são
Passo 3
Expressar o integrando em polares:
- Temos
. - Então o integrando
vira
Passo 4
Escrever a integral em polares com os limites e separar quando possível:
- A integral fica
- Podemos separar porque o integrando é produto de uma função só de
(isto é ) e uma função só de (isto é ), multiplicadas pela constante . Então
Passo 5
Calcular as integrais separadas passo a passo:
- Integral angular:
- Integral radial (só para completar; mesmo que seja não nula, a multiplicação por zero anula tudo):
- Multiplicando tudo:
Passo 6
Interpretação alternativa (intuição/simetria) — para ajudar na prova:
- Observação por simetria: a função integranda é
. O disco é simétrico em relação ao eixo . Para cada ponto do disco existe o ponto também no disco, e e se cancelam. Portanto a integral sobre todo o disco deve ser sem calcular nada mais. - Essa observação é útil na prova: sempre que integrar uma função impar em
sobre uma região simétrica em , o resultado será .