Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
\iint_{R} \mathrm{~m} y d \mathrm{AM}, onde D é o disco com centro na origem e raio 3

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular a integral dupla \displaystyle \iint_{D} m\,y\,dA.
  • A região D é o disco centrado na origem com raio 3. Ou seja, D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2\le 9\}.
  • A letra m aparece no integrando; aqui vou assumir que m é uma constante real (se for função de (x,y) a solução muda, mas o enunciado sugere constante).
  • A diferencial de área indicada no enunciado é dA (ou dAM equivalente): é a área elementar no plano.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares e como funcionam (aula rápida e prática):
  • Para discos centrados na origem, coordenadas polares são naturais porque descrevem a região com limites simples: r vai de 0 até o raio e \theta cobre o ângulo.
  • As conversões são: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • A diferencial de área em coordenadas polares é dA = r\,dr\,d\theta.Explicação intuitiva do r: o retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área elementar é dr\cdot r\,d\theta.
  • Como o disco tem raio 3, os limites em polares são 0\le r\le 3,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 3

Expressar o integrando em polares:
  • Temos y = r\sin\theta.
  • Então o integrando m\,y\,dA vira m\cdot (r\sin\theta)\cdot (r\,dr\,d\theta) = m\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Escrever a integral em polares com os limites e separar quando possível:
  • A integral fica \iint_{D} m\,y\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} m\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta.
  • Podemos separar porque o integrando é produto de uma função só de r (isto é r^2) e uma função só de \theta (isto é \sin\theta), multiplicadas pela constante m. Então \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} m\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta = m\left(\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{3} r^2\,dr\right).

Passo 5

Calcular as integrais separadas passo a passo:
  • Integral angular: \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = -\cos(2\pi)+\cos(0) = -1+1 = 0.
  • Integral radial (só para completar; mesmo que seja não nula, a multiplicação por zero anula tudo): \int_{0}^{3} r^2\,dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{27}{3} = 9.
  • Multiplicando tudo: m\cdot 0 \cdot 9 = 0.

Passo 6

Interpretação alternativa (intuição/simetria) — para ajudar na prova:
  • Observação por simetria: a função integranda é m\,y. O disco é simétrico em relação ao eixo x. Para cada ponto (x,y) do disco existe o ponto (x,-y) também no disco, e m\cdot y e m\cdot(-y) se cancelam. Portanto a integral sobre todo o disco deve ser 0 sem calcular nada mais.
  • Essa observação é útil na prova: sempre que integrar uma função impar em y sobre uma região simétrica em y, o resultado será 0.

Resposta

0

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