Para cada um dos campos vetoriais abaixo definidos em
, determine se o campo é conservativo (isto é, se admite potencial escalar). Caso o campo seja conservativo, determine uma função potencial
tal que
.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial e o domínio, e pede duas coisas:
- Campo vetorial:
. - Domínio:
.
O que é pedido:
- Determinar se
é conservativo (ou seja, se existe uma função potencial tal que ). - Se for conservativo, encontrar explicitamente uma função potencial
.
Passo 2
Conceito e critério que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas):
- Um campo vetorial
é chamado conservativo se existe uma função escalar tal que . Isso significa, componente a componente, - Um teste prático em
: se o domínio é aberto e simplesmente conexo (o que vale para ) e em todo o domínio, então é conservativo. Aqui é o rotacional (curl) de . - Vou usar esse teste: calcular
. Se for em , então existe potencial. Depois, construir o potencial integrando as componentes (método padrão: integrar uma componente e ajustar com funções das variáveis restantes).
Passo 3
Fórmula do rotacional e preparação para cálculo:
- Para
o rotacional é - No nosso caso:
, , . Vou calcular cada derivada parcial com cuidado.
Passo 4
Calcular cada termo do rotacional (mostrando as contas):
- Primeiro componente:
Logo primeira componente do rotacional: - Segunda componente:
Logo segunda componente: - Terceira componente:
Logo terceira componente:
Passo 5
Conclusão do teste do rotacional:
- Obtivemos
- Como o domínio
é aberto e simplesmente conexo, pelo teorema padrão de cálculo vetorial, o fato de o rotacional ser nulo implica que é conservativo: existe com .
Passo 6
Método para encontrar a potencial
(ideia antes de aplicar): integrar a primeira componente em relação a
, obtendo
até uma função “constante” que pode depender de
e
. Depois comparar com a segunda componente para determinar essa função, e finalmente usar a terceira componente para fixar qualquer função restante.
Passo 7
Integrar
em relação a
:
- Temos
. - Integrando com respeito a
: onde é uma função arbitrária que pode depender de e (porque ao derivar em desapareceria).
Passo 8
Determinar
usando
:
- Calcular
a partir da expressão obtida: - Mas deve coincidir com
. Portanto - Integrando em
: onde é uma função que depende só de .
Passo 9
Determinar
usando
:
- Substituindo
em : - Calcular
: - Deve ser igual a
. Assim - Integrando em
: onde é uma constante real (constante absoluta da primitiva).
Passo 10
Escrever a função potencial final e comentar unicidade:
- Portanto, tomando
para uma escolha de potencial, obtemos - Observação: qualquer outra função potencial difere dessa por uma constante aditiva. É fácil verificar derivando
que .
Resposta
Sim.