Para cada um dos campos vetoriais abaixo definidos em D \subset \mathbb{R}^{3}, determine se o campo é conservativo (isto é, se admite potencial escalar). Caso o campo seja conservativo, determine uma função potencial \varphi tal que \nabla \varphi=\vec{F}.
\vec{F}(x, y, z)=(y z+x, x z+y, x y+z), \quad D=\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial e o domínio, e pede duas coisas:
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=(y z+x,\; x z+y,\; x y+z).
  • Domínio: D=\mathbb{R}^{3}.
O que é pedido:
  1. Determinar se \vec{F} é conservativo (ou seja, se existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}).
  2. Se for conservativo, encontrar explicitamente uma função potencial \varphi(x,y,z).

Passo 2

Conceito e critério que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas):
  • Um campo vetorial \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é chamado conservativo se existe uma função escalar \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Isso significa, componente a componente, \frac{\partial \varphi}{\partial x}=F_1,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=F_2,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=F_3.
  • Um teste prático em \mathbb{R}^3: se o domínio é aberto e simplesmente conexo (o que vale para D=\mathbb{R}^3) e \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em todo o domínio, então \vec{F} é conservativo. Aqui \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F}.
  • Vou usar esse teste: calcular \nabla\times\vec{F}. Se for \vec{0} em \mathbb{R}^{3}, então existe potencial. Depois, construir o potencial integrando as componentes (método padrão: integrar uma componente e ajustar com funções das variáveis restantes).

Passo 3

Fórmula do rotacional e preparação para cálculo:
  • Para \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) o rotacional é \nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big).
  • No nosso caso: F_1=y z+x, F_2=x z+y, F_3=x y+z. Vou calcular cada derivada parcial com cuidado.

Passo 4

Calcular cada termo do rotacional (mostrando as contas):
  • Primeiro componente: \frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x y+z)=x, \qquad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x z+y)=x.Logo primeira componente do rotacional: \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=x-x=0.
  • Segunda componente: \frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y z+x)=y, \qquad \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y+z)=y.Logo segunda componente: \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}=y-y=0.
  • Terceira componente: \frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x z+y)=z, \qquad \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y z+x)=z.Logo terceira componente: \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=z-z=0.

Passo 5

Conclusão do teste do rotacional:
  • Obtivemos \nabla\times\vec{F}=(0,0,0)=\vec{0}\quad\text{em toda a } \mathbb{R}^3.
  • Como o domínio D=\mathbb{R}^3 é aberto e simplesmente conexo, pelo teorema padrão de cálculo vetorial, o fato de o rotacional ser nulo implica que \vec{F} é conservativo: existe \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 6

Método para encontrar a potencial \varphi (ideia antes de aplicar): integrar a primeira componente em relação a x, obtendo \varphi até uma função “constante” que pode depender de y e z. Depois comparar com a segunda componente para determinar essa função, e finalmente usar a terceira componente para fixar qualquer função restante.

Passo 7

Integrar \frac{\partial \varphi}{\partial x}=F_1 em relação a x:
  • Temos \frac{\partial \varphi}{\partial x}=y z+x.
  • Integrando com respeito a x: \varphi(x,y,z)=\int (y z+x)\,dx = x y z + \frac{x^{2}}{2} + C(y,z),onde C(y,z) é uma função arbitrária que pode depender de y e z (porque ao derivar em x desapareceria).

Passo 8

Determinar C(y,z) usando \frac{\partial \varphi}{\partial y}=F_2:
  • Calcular \frac{\partial \varphi}{\partial y} a partir da expressão obtida: \frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(x y z + \frac{x^{2}}{2} + C(y,z)\Big)=x z + \frac{\partial C}{\partial y}(y,z).
  • Mas deve coincidir com F_2=x z+y. Portanto x z + \frac{\partial C}{\partial y}(y,z)=x z + y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial C}{\partial y}(y,z)=y.
  • Integrando em y: C(y,z)=\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + D(z),onde D(z) é uma função que depende só de z.

Passo 9

Determinar D(z) usando \frac{\partial \varphi}{\partial z}=F_3:
  • Substituindo C em \varphi: \varphi(x,y,z)=x y z + \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + D(z).
  • Calcular \frac{\partial \varphi}{\partial z}: \frac{\partial \varphi}{\partial z}=x y + D'(z).
  • Deve ser igual a F_3=x y+z. Assim x y + D'(z)=x y + z \quad\Rightarrow\quad D'(z)=z.
  • Integrando em z: D(z)=\int z\,dz = \frac{z^{2}}{2} + C_0,onde C_0 é uma constante real (constante absoluta da primitiva).

Passo 10

Escrever a função potencial final e comentar unicidade:
  • Portanto, tomando C_0=0 para uma escolha de potencial, obtemos \varphi(x,y,z)=x y z + \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + \frac{z^{2}}{2}.
  • Observação: qualquer outra função potencial difere dessa por uma constante aditiva. É fácil verificar derivando \varphi que \nabla\varphi=\vec{F}.

Resposta

Sim. \displaystyle \varphi(x,y,z)=x y z+\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{2}

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