Equivalentemente, o Laplaciano pode ser escrito como o divergente do gradiente:
\Delta u=\nabla \cdot(\nabla u) .
Seja D \subset \mathbb{R}^{2} um domínio limitado com fronteira \partial D suave por partes, orientada positivamente. Sejam u, v \in C^{2}(\bar{D}) funções escalares.
(a) Considere o campo vetorial \mathbf{F}=u \nabla v. Mostre que
\nabla \cdot(u \nabla v)=u \Delta v+\nabla u \cdot \nabla v,
onde \Delta v=\nabla \cdot(\nabla v).
(b) Use a identidade acima para deduzir a primeira identidade de Green:
\iint_{D}(u \Delta v+\nabla u \cdot \nabla v) d A=\int_{\partial D} u \nabla v \cdot \mathbf{n} d s
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário exterior.
(c) Repita o procedimento para o campo \mathbf{G}=v \nabla u.
(d) Subtraindo as identidades obtidas, deduza a segunda identidade de Green:
\iint_{D}(u \Delta v-v \Delta u) d A=\int_{\partial D}(u \nabla v-v \nabla u) \cdot \mathbf{n} d s
(e) Suponha agora que u é harmônica em D, isto é, \Delta u=0 em D. Mostre que vale
\iint_{D} u \Delta v d A=\int_{\partial D}(u \nabla v-v \nabla u) \cdot \mathbf{n} d s
Seja u \in C^{1}(\bar{D}) e x \in \partial D. A derivada normal exterior de u em x é definida por
\int_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} d s=0
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, parte a parte.
Dados fornecidos:
D\subset\mathbb{R}^2 é um domínio limitado com fronteira \partial D suave por partes, orientada positivamente.
u,v\in C^{2}(\bar{D}) (exceto na última observação onde u\in C^{1}(\bar{D})).
O Laplaciano é \displaystyle \Delta w=\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} em duas variáveis (a fórmula inicial em 3D é apenas motivação).
A derivada normal exterior de uma função w em x\in\partial D é \displaystyle \frac{\partial w}{\partial n}(x)=\nabla w(x)\cdot\mathbf{n}(x).
O que o enunciado pede:
(a) Para \mathbf{F}=u\nabla v, mostrar que \displaystyle \nabla\cdot (u\nabla v)=u\Delta v+\nabla u\cdot\nabla v.
(b) Usar (a) e o Teorema da divergência (fluxo) para provar a primeira identidade de Green:
que é a conclusão pedida no enunciado final. (Portanto é necessário usar a hipótese \Delta u=0 para concluir que a integral da derivada normal é zero.)
Resposta
(a) \displaystyle \nabla\cdot(u\nabla v)=u\Delta v+\nabla u\cdot\nabla v.
(b) \displaystyle \iint_{D}\bigl(u\Delta v+\nabla u\cdot\nabla v\bigr)\,dA=\int_{\partial D}u\nabla v\cdot\mathbf{n}\,ds.
(c) \displaystyle \nabla\cdot(v\nabla u)=v\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u e \displaystyle \iint_{D}\bigl(v\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u\bigr)\,dA=\int_{\partial D}v\nabla u\cdot\mathbf{n}\,ds.
(d) \displaystyle \iint_{D}\bigl(u\Delta v-v\Delta u\bigr)\,dA=\int_{\partial D}\bigl(u\nabla v-v\nabla u\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds.
(e) Se \Delta u=0 em D, então \displaystyle \iint_{D}u\Delta v\,dA=\int_{\partial D}\bigl(u\nabla v-v\nabla u\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds.
Adicional: Para v\equiv 1 vale \displaystyle \int_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial n}\,ds=\iint_{D}\Delta u\,dA, e se \Delta u=0 então \displaystyle \int_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial n}\,ds=0.