Seja u=u(x, y, z) uma função escalar de classe C^{2} definida em uma região V \subset \mathbb{R}^{3}. O Laplaciano de u é definido por
\Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} .
Equivalentemente, o Laplaciano pode ser escrito como o divergente do gradiente:
\Delta u=\nabla \cdot(\nabla u) .
Seja D \subset \mathbb{R}^{2} um domínio limitado com fronteira \partial D suave por partes, orientada positivamente. Sejam u, v \in C^{2}(\bar{D}) funções escalares.
(a) Considere o campo vetorial \mathbf{F}=u \nabla v. Mostre que
\nabla \cdot(u \nabla v)=u \Delta v+\nabla u \cdot \nabla v,
onde \Delta v=\nabla \cdot(\nabla v).
(b) Use a identidade acima para deduzir a primeira identidade de Green:
\iint_{D}(u \Delta v+\nabla u \cdot \nabla v) d A=\int_{\partial D} u \nabla v \cdot \mathbf{n} d s
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário exterior.
(c) Repita o procedimento para o campo \mathbf{G}=v \nabla u.
(d) Subtraindo as identidades obtidas, deduza a segunda identidade de Green:
\iint_{D}(u \Delta v-v \Delta u) d A=\int_{\partial D}(u \nabla v-v \nabla u) \cdot \mathbf{n} d s
(e) Suponha agora que u é harmônica em D, isto é, \Delta u=0 em D. Mostre que vale
\iint_{D} u \Delta v d A=\int_{\partial D}(u \nabla v-v \nabla u) \cdot \mathbf{n} d s
Seja u \in C^{1}(\bar{D}) e x \in \partial D. A derivada normal exterior de u em x é definida por
\frac{\partial u}{\partial n}(x)=\nabla u(x) \cdot \mathbf{n}(x)
onde \mathbf{n}(x) é o vetor normal unitário exterior a \partial D no ponto x. Equivalentemente, se \gamma(t)=x+t \mathbf{n}(x), então
\frac{\partial u}{\partial n}(x)=\left.\frac{d}{d t} u(\gamma(t))\right|_{t=0}
Se v \equiv 1 em todo D, conclua que
\int_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} d s=0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, parte a parte.
  • Dados fornecidos:
    • D\subset\mathbb{R}^2 é um domínio limitado com fronteira \partial D suave por partes, orientada positivamente.
    • u,v\in C^{2}(\bar{D}) (exceto na última observação onde u\in C^{1}(\bar{D})).
    • O Laplaciano é \displaystyle \Delta w=\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} em duas variáveis (a fórmula inicial em 3D é apenas motivação).
    • A derivada normal exterior de uma função w em x\in\partial D é \displaystyle \frac{\partial w}{\partial n}(x)=\nabla w(x)\cdot\mathbf{n}(x).
  • O que o enunciado pede:
    (a) Para \mathbf{F}=u\nabla v, mostrar que \displaystyle \nabla\cdot (u\nabla v)=u\Delta v+\nabla u\cdot\nabla v.
    (b) Usar (a) e o Teorema da divergência (fluxo) para provar a primeira identidade de Green:
    \iint_{D}\bigl(u\Delta v+\nabla u\cdot\nabla v\bigr)\,dA=\int_{\partial D}u\nabla v\cdot\mathbf{n}\,ds.
    (c) Repetir para \mathbf{G}=v\nabla u (obter identidade análoga).
    (d) Subtrair as identidades para deduzir a segunda identidade de Green:
    \iint_{D}\bigl(u\Delta v-v\Delta u\bigr)\,dA=\int_{\partial D}\bigl(u\nabla v-v\nabla u\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds.
    (e) Supondo agora \Delta u=0 em D (u harmônica), mostrar que
    \iint_{D} u\Delta v\,dA=\int_{\partial D}\bigl(u\nabla v-v\nabla u\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds.
    • Finalmente: tomando v\equiv 1 em D, concluir que \displaystyle \int_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial n}\,ds=0 (explique por que).

Passo 2

(a) Calcular \nabla\cdot(u\nabla v) com produto das derivadas parciais — regra do produto componente a componente.
  • Escrevendo \nabla v=(v_x,v_y) onde v_x=\partial v/\partial x e v_y=\partial v/\partial y.
  • Então \displaystyle \mathbf{F}=u\nabla v=(u v_x,\,u v_y).
  • A divergência é
\nabla\cdot(u\nabla v)=\frac{\partial}{\partial x}(u v_x)+\frac{\partial}{\partial y}(u v_y).
  • Aplicando a regra do produto em cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(u v_x)=u_x v_x+u v_{xx}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(u v_y)=u_y v_y+u v_{yy}.
  • Somando,
\nabla\cdot(u\nabla v)=\bigl(u_x v_x+u_y v_y\bigr)+u\bigl(v_{xx}+v_{yy}\bigr).
  • Identificando \nabla u=(u_x,u_y) e \Delta v=v_{xx}+v_{yy}, obtemos
\nabla\cdot(u\nabla v)=\nabla u\cdot\nabla v+u\Delta v,
que é exatamente a identidade pedida em (a). (Aqui usei a definição da divergência e a regra do produto; tudo válido porque u,v\in C^2.)

Passo 3

(b) Aplicar o Teorema da divergência (fluxo) em 2D ao campo \mathbf{F}=u\nabla v.
  • Enunciado do Teorema do fluxo (forma apropriada): se \mathbf{F} tem componentes C^1 em \bar{D}, então
\iint_{D}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dA=\int_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds,
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário exterior e a fronteira é percorrida no sentido positivo (anti-horário).
  • No nosso caso \mathbf{F}=u\nabla v satisfaz hipótese de regularidade. Substituindo a identidade do Passo 2 para \nabla\cdot\mathbf{F},
\iint_{D}\bigl(u\Delta v+\nabla u\cdot\nabla v\bigr)\,dA =\iint_{D}\nabla\cdot(u\nabla v)\,dA =\int_{\partial D}u\nabla v\cdot\mathbf{n}\,ds.
  • Pronto: esta igualdade é exatamente a primeira identidade de Green pedida em (b).

Passo 4

(c) Repetir o cálculo para \mathbf{G}=v\nabla u.
  • Escrevendo \mathbf{G}=(v u_x,\,v u_y). A divergência é
\nabla\cdot(v\nabla u)=\frac{\partial}{\partial x}(v u_x)+\frac{\partial}{\partial y}(v u_y).
  • Pela regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}(v u_x)=v_x u_x+v u_{xx}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(v u_y)=v_y u_y+v u_{yy}.
  • Somando:
\nabla\cdot(v\nabla u)=\nabla v\cdot\nabla u+v\Delta u.
  • Aplicando o Teorema da divergência:
\iint_{D}\bigl(v\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u\bigr)\,dA=\int_{\partial D}v\nabla u\cdot\mathbf{n}\,ds.
  • Essa é a identidade análoga para \mathbf{G}, como pedido.

Passo 5

(d) Subtrair as duas identidades obtidas nos Passos 3 e 4.
  • Do Passo 3 temos
\iint_{D}\bigl(u\Delta v+\nabla u\cdot\nabla v\bigr)\,dA=\int_{\partial D}u\nabla v\cdot\mathbf{n}\,ds.
  • Do Passo 4 temos
\iint_{D}\bigl(v\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u\bigr)\,dA=\int_{\partial D}v\nabla u\cdot\mathbf{n}\,ds.
  • Subtraindo a segunda da primeira, o termo \nabla u\cdot\nabla v cancela com \nabla v\cdot\nabla u (são iguais), portanto sobra no lado esquerdo
\iint_{D}\bigl(u\Delta v - v\Delta u\bigr)\,dA.
  • No lado direito obtemos
\int_{\partial D}\bigl(u\nabla v\cdot\mathbf{n}-v\nabla u\cdot\mathbf{n}\bigr)\,ds =\int_{\partial D}\bigl(u\nabla v-v\nabla u\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds.
  • Assim chegamos à segunda identidade de Green pedida:
\iint_{D}\bigl(u\Delta v - v\Delta u\bigr)\,dA=\int_{\partial D}\bigl(u\nabla v-v\nabla u\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds.

Passo 6

(e) Consequência quando u é harmônica ( \Delta u=0 em D).
  • Na segunda identidade do Passo 5 basta substituir \Delta u=0. O integrando do lado esquerdo fica u\Delta v - v\cdot 0 = u\Delta v.
  • Logo
\iint_{D} u\Delta v\,dA=\int_{\partial D}\bigl(u\nabla v-v\nabla u\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds,
que é exatamente o que se pedia em (e).

Passo 7

Conclusão sobre a integral da derivada normal quando v\equiv 1.
  • Tome a identidade do Passo 4 (para \mathbf{G}=v\nabla u):
\iint_{D}\bigl(v\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u\bigr)\,dA=\int_{\partial D}v\nabla u\cdot\mathbf{n}\,ds.
  • Se v\equiv 1 então \nabla v\equiv 0 e v=1, então a identidade reduz-se a
\iint_{D}\Delta u\,dA=\int_{\partial D}\nabla u\cdot\mathbf{n}\,ds.
  • Como \nabla u\cdot\mathbf{n}=\dfrac{\partial u}{\partial n}, isso é
\int_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial n}\,ds=\iint_{D}\Delta u\,dA.
  • Em particular, se além disso u for harmônica em D (isto é, \Delta u=0 em D), então o lado direito é zero e obtemos
\int_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial n}\,ds=0,
que é a conclusão pedida no enunciado final. (Portanto é necessário usar a hipótese \Delta u=0 para concluir que a integral da derivada normal é zero.)

Resposta

(a) \displaystyle \nabla\cdot(u\nabla v)=u\Delta v+\nabla u\cdot\nabla v.
(b) \displaystyle \iint_{D}\bigl(u\Delta v+\nabla u\cdot\nabla v\bigr)\,dA=\int_{\partial D}u\nabla v\cdot\mathbf{n}\,ds.
(c) \displaystyle \nabla\cdot(v\nabla u)=v\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u e \displaystyle \iint_{D}\bigl(v\Delta u+\nabla v\cdot\nabla u\bigr)\,dA=\int_{\partial D}v\nabla u\cdot\mathbf{n}\,ds.
(d) \displaystyle \iint_{D}\bigl(u\Delta v-v\Delta u\bigr)\,dA=\int_{\partial D}\bigl(u\nabla v-v\nabla u\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds.
(e) Se \Delta u=0 em D, então \displaystyle \iint_{D}u\Delta v\,dA=\int_{\partial D}\bigl(u\nabla v-v\nabla u\bigr)\cdot\mathbf{n}\,ds.
Adicional: Para v\equiv 1 vale \displaystyle \int_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial n}\,ds=\iint_{D}\Delta u\,dA, e se \Delta u=0 então \displaystyle \int_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial n}\,ds=0.

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