Calcule a integral dada, colocando em coordenadas polares. \int_{R} \int(2 x-y) d x d y onde R a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=25, e as retas x=0 e y=x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} (2x-y)\,dx\,dy
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=25 e pelas retas x=0 e y=x.
Informações dadas:
  • Integrando: (2x-y).
  • Região R: primeiro quadrante, dentro do círculo de raio 5 (pois x^{2}+y^{2}=25) e entre as retas x=0 e y=x.
  • Pergunta: calcular o valor da integral dupla sobre R.

Passo 2

Troca para coordenadas polares: explicar as fórmulas e o jacobiano.
Em coordenadas polares usa-se
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. O elemento de área transforma como
dx\,dy = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right| dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.
Breve justificativa do jacobiano: a matriz das derivadas parciais é
\begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix},
e seu determinante é r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.]

Passo 3

Transformar o integrando para polares.
Substituindo x e y no integrando:
2x-y = 2(r\cos\theta)- (r\sin\theta) = r\,(2\cos\theta-\sin\theta).
Multiplicando pelo jacobiano r do elemento de área, o integrando em polares fica
r\,(2\cos\theta-\sin\theta)\cdot r = r^{2}(2\cos\theta-\sin\theta).

Passo 4

Descrever a região R em coordenadas polares (limites de r e \theta).
  • O círculo x^{2}+y^{2}=25 vira r=5.
  • A reta x=0 corresponde a \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • A reta y=x corresponde a \theta=\tfrac{\pi}{4}.
  • Como estamos no primeiro quadrante e entre as retas y=x e x=0, o ângulo \theta varia de \tfrac{\pi}{4} até \tfrac{\pi}{2}.
  • Para cada \theta nessa faixa, r varia de 0 até 5.
Portanto os limites são 0\le r\le 5 e \tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Montar a integral dupla em polares com os limites encontrados.
A integral passa a ser
\iint_{R} (2x-y)\,dx\,dy = \int_{\theta=\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{5} r^{2}\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.
Observe que o integrando separa em uma função de r vezes uma função de \theta, o que facilita (primeiro integra-se em r).

Passo 6

Calcular a integral interna em r.
Integramos r^{2} de 0 a 5:
\int_{0}^{5} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{5} = \frac{5^{3}}{3} = \frac{125}{3}.
Multiplicando pelo fator angular obtemos
\int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{125}{3}\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em \theta.
Primeiro integrar a combinação trigonométrica:
\int\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\,d\theta = 2\sin\theta + \cos\theta + C,
pois \int\cos\theta\,d\theta=\sin\theta e \int-\sin\theta\,d\theta=\cos\theta.
Logo
\int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{125}{3}\bigl(2\cos\theta-\sin\theta\bigr)\,d\theta = \frac{125}{3}\left[2\sin\theta+\cos\theta\right]_{\theta=\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}.
Avaliar nos limites:
  • Em \theta=\tfrac{\pi}{2}: \sin\tfrac{\pi}{2}=1, \cos\tfrac{\pi}{2}=0 2\sin\theta+\cos\theta = 2.
  • Em \theta=\tfrac{\pi}{4}: \sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} 2\sin\theta+\cos\theta = 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}.
Subtraindo:
2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{4-3\sqrt{2}}{2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{125}{3} obtemos o valor final:
\frac{125}{3}\cdot\frac{4-3\sqrt{2}}{2}=\frac{125}{6}\,(4-3\sqrt{2}).

Resposta

\dfrac{125}{6}\,(4-3\sqrt{2})

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