calcule as integrais definidas e indefinidas:
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{9 x^{2}+49}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais definidas e indefinidas da função dada. A informação fornecida é apenas a expressão do integrando:
\frac{x^{3}}{\sqrt{9x^{2}+49}}.
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • Não foram fornecidos limites para uma integral definida específica. Portanto, não é possível produzir um valor numérico para uma integral definida sem escolher limites a e b.
  • Vou calcular a primitiva (integração indefinida) e mostrar como usar essa primitiva para avaliar qualquer integral definida \int_{a}^{b}.

Passo 2

Estratégia de resolução (ideia didática, explicada passo a passo):
  • A expressão dentro da raiz é 9x^{2}+49. Uma técnica natural é a substituição u=9x^{2}+49 porque sua diferencial está relacionada a x\,dx, e o integrando tem fator x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx.
  • Vou executar a substituição explicitando cada passo para você aplicar na prova sem erro.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina
u = 9x^{2}+49.
Então a diferencial é
du = 18x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{18}.
Também expressamos x^{2} em função de u:
x^{2} = \frac{u-49}{9}.
Agora escrevemos x^{3}dx como x^{2}\cdot x\,dx e substituímos:
x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx = \frac{u-49}{9}\cdot\frac{du}{18} = \frac{u-49}{162}\,du.

Passo 4

Transformar a integral original:
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{9x^{2}+49}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{u-49}{162}\,du = \frac{1}{162}\int (u-49)u^{-1/2}\,du.
Expandindo o integrando em potências de u:
(u-49)u^{-1/2} = u^{1/2} - 49\,u^{-1/2}.
Portanto
\frac{1}{162}\int (u^{1/2} - 49\,u^{-1/2})\,du.

Passo 5

Integrar termo a termo (lembrando que \int u^{\alpha} du = \dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} para \alpha\neq-1):
\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2},\qquad \int u^{-1/2}\,du = 2u^{1/2}.
Assim
\frac{1}{162}\left(\frac{2}{3}u^{3/2} - 49\cdot 2\,u^{1/2}\right) + C = \frac{1}{162}\left(\frac{2}{3}u^{3/2} - 98\,u^{1/2}\right)+C.

Passo 6

Simplificar as constantes e voltar à variável x. Calculando as frações:
\frac{1}{162}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{486}=\frac{1}{243},\qquad \frac{1}{162}\cdot 98=\frac{98}{162}=\frac{49}{81}.
Portanto uma primitiva é
\frac{1}{243}u^{3/2}-\frac{49}{81}u^{1/2}+C.
Voltando u=9x^{2}+49,
\boxed{\; \frac{1}{243}(9x^{2}+49)^{3/2} - \frac{49}{81}(9x^{2}+49)^{1/2} + C \; }.
Uma forma equivalente, fatorando (9x^{2}+49)^{1/2}, é
\boxed{\; \frac{9x^{2}-98}{243}\,(9x^{2}+49)^{1/2} + C \; }.

Passo 7

Como calcular qualquer integral definida \int_{a}^{b}\dfrac{x^{3}}{\sqrt{9x^{2}+49}}\,dx:
  • Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, calcule uma primitiva F(x) (a que obtivemos) e avalie F(b)-F(a). Assim,
\int_{a}^{b}\frac{x^{3}}{\sqrt{9x^{2}+49}}\,dx = \left[\frac{1}{243}(9x^{2}+49)^{3/2} - \frac{49}{81}(9x^{2}+49)^{1/2}\right]_{x=a}^{x=b}.
Se houver limites numéricos, basta substituir x=b e x=a nessas expressões e calcular a diferença.

Resposta

\displaystyle \int \frac{x^{3}}{\sqrt{9x^{2}+49}}\,dx=\frac{1}{243}(9x^{2}+49)^{3/2}-\frac{49}{81}(9x^{2}+49)^{1/2}+C
\displaystyle \int_{a}^{b}\frac{x^{3}}{\sqrt{9x^{2}+49}}\,dx= \left[\frac{1}{243}(9x^{2}+49)^{3/2}-\frac{49}{81}(9x^{2}+49)^{1/2}\right]_{x=a}^{x=b}

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