calcule as integrais definidas e indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as integrais definidas e indefinidas da função dada. A informação fornecida é apenas a expressão do integrando:
Observações importantes extraídas do enunciado:
- Não foram fornecidos limites para uma integral definida específica. Portanto, não é possível produzir um valor numérico para uma integral definida sem escolher limites
e . - Vou calcular a primitiva (integração indefinida) e mostrar como usar essa primitiva para avaliar qualquer integral definida
.
Passo 2
Estratégia de resolução (ideia didática, explicada passo a passo):
- A expressão dentro da raiz é
. Uma técnica natural é a substituição porque sua diferencial está relacionada a , e o integrando tem fator . - Vou executar a substituição explicitando cada passo para você aplicar na prova sem erro.
Passo 3
Fazer a substituição. Defina
Então a diferencial é
Também expressamos
em função de
:
Agora escrevemos
como
e substituímos:
Passo 4
Transformar a integral original:
Expandindo o integrando em potências de
:
Portanto
Passo 5
Integrar termo a termo (lembrando que
para
):
Assim
Passo 6
Simplificar as constantes e voltar à variável
. Calculando as frações:
Portanto uma primitiva é
Voltando
,
Uma forma equivalente, fatorando
, é
Passo 7
Como calcular qualquer integral definida
:
- Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, calcule uma primitiva
(a que obtivemos) e avalie . Assim,
Se houver limites numéricos, basta substituir
e
nessas expressões e calcular a diferença.