Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD x d A, onde D é a região do primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=2 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaD x,dA
onde D é a região do primeiro quadrante situada entre os círculos
x^2+y^2=4 e x^2+y^2=2x
O conteúdo principal é usar coordenadas polares, pois em polares essas curvas têm equações simples.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
A curva x^2+y^2=4 vira r=2 e a curva x^2+y^2=2x vira
r^2 = 2rcostheta ;Longrightarrow; r = 2costheta (descartamos r=0)
Como estamos no primeiro quadrante, thetain[0,pi/2]. Para cada theta em [0,pi/2], o r varia de r=2costheta (círculo menor) até r=2 (círculo maior).

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral duplaD x,dA = integraltheta=0^pi/2integralr=2costheta^2 l(rcosthetar),l(r,dr,dthetar) = integral0^pi/2integral2costheta^2 r^2costheta,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em r:
integral2costheta^2 r^2,dr = [r^33]2costheta^2 = 8 - 8cos^3theta3 = 83,(1-cos^3theta)
Então a integral fica
integral0^pi/2 83,(1-cos^3theta),costheta,dtheta = 83integral0^pi/2l(costheta - cos^4thetar)dtheta

Passo 5

Agora calculamos os dois integrais conhecidos:
integral0^pi/2costheta,dtheta = 1, integral0^pi/2cos^4theta,dtheta = 3pi16
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83l(1 - 3pi16r) = 83 - pi2 = 16 - 3pi6

Resposta

16 - 3pi6

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