Determine o volume do sólido abaixo da superfície
e acima da região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície
e acima da região
no plano
limitada pelas curvas
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas: vamos encontrar primeiro a região
, depois montar
e, por fim, calcular o valor desse integral.
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção de
Substituindo
em
dá
Logo
ou
. Os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Para
entre
e
, observamos que
Então a região
é
Passo 4
Montamos o integral de volume na ordem
:
Passo 5
Calculamos primeiro a integral interna em
:
avaliada de
até
.
Passo 6
Fazendo a avaliação obtemos
Logo
Passo 7
Integramos termo a termo:
Somando dá
Resposta
O volume do sólido é
.