Determine o volume do sólido abaixo da superfície z=2 x+y^2 e acima da região limitada por x=y^3 e y=x^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície
z = 2x + y^2
e acima da região R no plano xy limitada pelas curvas
x = y^3 e y = x^2
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas: vamos encontrar primeiro a região R, depois montar
V = integral duplaR(2x + y^2),dA
e, por fim, calcular o valor desse integral.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção de
x = y^3 e y = x^2
Substituindo x=y^3 em y=x^2
y = (y^3)^2 = y^6 ;Longrightarrow; y^6-y=0 ;Longrightarrow; y(y^5-1)=0
Logo y=0 ou y=1. Os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Para y entre 0 e 1, observamos que
x = y^3 <= x = raizy pois em ([0,1]) va<= (y^3<= y^1/2)
Então a região R é
0 <= y <= 1, y^3 <= x <= raizy

Passo 4

Montamos o integral de volume na ordem dx,dy:
V = integraly=0^1integralx=y^3^raizyl(2x + y^2r),dx,dy

Passo 5

Calculamos primeiro a integral interna em x:
integrall(2x + y^2r),dx = integral 2x,dx ;+;integral y^2,dx = x^2 + x,y^2
avaliada de x=y^3 até x=raizy.

Passo 6

Fazendo a avaliação obtemos
l[;x^2 + x,y^2r]x=y^3^x=raizy = l(y + y^5/2r) - l(y^6 + y^5r) = y + y^5/2 - y^6 - y^5
Logo
V = integral0^1l(y + y^5/2 - y^6 - y^5r),dy

Passo 7

Integramos termo a termo:
integral0^1y,dy = tfrac12, integral0^1y^5/2,dy = 27, integral0^1y^6,dy = tfrac17, integral0^1y^5,dy = tfrac16
Somando dá
V = 12 + 27 - 17 - 16 = 21 + 6 - 6 - 742 = 2042 = 1021

Resposta

O volume do sólido é 1021.

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