Calcule a integral definida
.
(Valor: 20)
Sugestão: Use
(Valor: 20)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
- O intervalo de integração é de
até . - A integranda é
. - Foi sugerido usar a identidade
.
O que se quer: o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo de forma didática e intuitiva).
Quando uma integral tem potências de e
, um truque padrão é:
Quando uma integral tem potências de
- Se a potência de
for ímpar, separar um fator e usar , então substituir porque . - Se a potência de
for ímpar, faz-se o análogo trocando papel das funções.
Aqui temos
, ou seja, a potência de
é ímpar. Então vamos isolar um
e usar a identidade sugerida para escrever o resto em função de
. Isso permitirá a substituição
, que transforma a integral numa integral polinomial simples.
Passo 3
Reescrever a integranda isolando um fator
e usando
:
Agora fazemos a substituição
Precisamos também transformar os limites de integração:
- Quando
, . - Quando
, .
Substituindo na integral e cuidando do sinal:
Passo 4
Trocar os limites para ordem crescente (o menos sai invertendo os limites):
Simplificando a expressão dentro da integral:
Assim a integral ficou
Passo 5
Agora aplicamos a regra básica de integração de potências: para
,
Usando isso termo a termo,
Como estamos com integral definida de
a
, avaliamos a primitiva nos limites.
Passo 6
Avaliar a primitiva entre os limites
e
: