Calcule a integral definida \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{3} x \cos ^{7} x d x.
(Valor: 20)
Sugestão: Use \operatorname{sen}^{2} x=1-\cos ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{3} x \cos^{7} x \, dx.
Informações relevantes dadas:
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=\tfrac{\pi}{2}.
  • A integranda é \operatorname{sen}^{3} x \cos^{7} x.
  • Foi sugerido usar a identidade \operatorname{sen}^{2} x = 1 - \cos^{2} x.
    O que se quer: o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo de forma didática e intuitiva).
Quando uma integral tem potências de \operatorname{sen} x e \cos x, um truque padrão é:
  • Se a potência de \operatorname{sen} x for ímpar, separar um fator \operatorname{sen} x e usar \operatorname{sen}^{2} x = 1-\cos^{2} x, então substituir u=\cos x porque du=-\operatorname{sen} x\,dx.
  • Se a potência de \cos x for ímpar, faz-se o análogo trocando papel das funções.
Aqui temos \operatorname{sen}^{3} x = \operatorname{sen}^{2} x \cdot \operatorname{sen} x, ou seja, a potência de \operatorname{sen} x é ímpar. Então vamos isolar um \operatorname{sen} x e usar a identidade sugerida para escrever o resto em função de \cos x. Isso permitirá a substituição u=\cos x, que transforma a integral numa integral polinomial simples.

Passo 3

Reescrever a integranda isolando um fator \operatorname{sen} x e usando \operatorname{sen}^{2} x=1-\cos^{2} x:
\operatorname{sen}^{3} x \cos^{7} x = (\operatorname{sen}^{2} x)\, \operatorname{sen} x \,\cos^{7} x = (1-\cos^{2} x)\,\operatorname{sen} x\,\cos^{7} x.
Agora fazemos a substituição
u=\cos x \quad\Rightarrow\quad du=-\operatorname{sen} x\,dx.
Precisamos também transformar os limites de integração:
  • Quando x=0, u=\cos 0 = 1.
  • Quando x=\tfrac{\pi}{2}, u=\cos \tfrac{\pi}{2} = 0.
Substituindo na integral e cuidando do sinal:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos^{2} x)\,\operatorname{sen} x\,\cos^{7} x\,dx = \int_{x=0}^{x=\frac{\pi}{2}} (1-u^{2})\,u^{7}\,(-du).

Passo 4

Trocar os limites para ordem crescente (o menos sai invertendo os limites):
\int_{x=0}^{x=\frac{\pi}{2}} (1-u^{2})\,u^{7}\,(-du) = \int_{u=1}^{u=0} -(1-u^{2})u^{7}\,du = \int_{u=0}^{u=1} (1-u^{2})u^{7}\,du.
Simplificando a expressão dentro da integral:
(1-u^{2})u^{7} = u^{7} - u^{9}.
Assim a integral ficou
\int_{0}^{1} \bigl(u^{7} - u^{9}\bigr)\,du.

Passo 5

Agora aplicamos a regra básica de integração de potências: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Usando isso termo a termo,
\int \bigl(u^{7} - u^{9}\bigr)\,du = \frac{u^{8}}{8} - \frac{u^{10}}{10} + C.
Como estamos com integral definida de 0 a 1, avaliamos a primitiva nos limites.

Passo 6

Avaliar a primitiva entre os limites 0 e 1:
\left[\frac{u^{8}}{8} - \frac{u^{10}}{10}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^{8}}{8} - \frac{1^{10}}{10}\right) - \left(\frac{0^{8}}{8} - \frac{0^{10}}{10}\right) = \frac{1}{8} - \frac{1}{10}.

Resposta

\dfrac{1}{40}

Exercícios relacionados