Calcule a integral indefinida \int x e^{\frac{x}{2}} d x.
(Valor: 20)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x e^{\frac{x}{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x e^{\frac{x}{2}}.
  • Trata-se de integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.
    O que se quer: uma antiderivada de x e^{\frac{x}{2}}, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x e^{\frac{x}{2}}.

Passo 2

Escolhendo o método: aqui temos um produto entre um polinômio em x (que é fácil de derivar) e uma função exponencial (fácil de integrar). Nesses casos o método mais direto é a fórmula de integração por partes. Vou usar esse método porque reduz o grau do polinômio e transforma a integral em algo simples.

Passo 3

Lembrete e derivação da fórmula de integração por partes (aula rápida):
  • A regra do produto diz que, para funções u(x) e v(x),
\big(u v\big)' = u' v + u v'.
  • Integrando ambos os lados:
\int \big(u' v + u v'\big)\,dx = \int (u v)'\,dx = u v + C.
  • Reorganizando e tomando du = u' dx e dv = v' dx, obtemos a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicação das letras:
  • u é uma função que vai ser diferenciada (gera du);
  • dv é a parte que vamos integrar para obter v.
    A escolha de u e dv costuma seguir a regra prática: escolher u que simplifique ao ser derivada (polinômios são boas escolhas) e dv que seja fácil de integrar.

Passo 4

Aplicando à nossa integral. Faço a escolha
u = x,\qquad dv = e^{\frac{x}{2}}\,dx.
Justificativa: u=x fica mais simples ao derivar ( du=dx); dv=e^{x/2}dx é fácil de integrar.

Passo 5

Calcular du e v:
  • Diferenciando u: du = dx.
  • Integrando dv: precisamos de v=\int e^{\frac{x}{2}}\,dx.
Para calcular \int e^{\frac{x}{2}}\,dx use a fórmula \int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}. Aqui a=\tfrac{1}{2}, portanto
v = \int e^{\frac{x}{2}}\,dx = \frac{1}{\frac{1}{2}} e^{\frac{x}{2}} = 2 e^{\frac{x}{2}}.

Passo 6

Agora aplique a fórmula de integração por partes:
\int x e^{\frac{x}{2}}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v, du:
\int x e^{\frac{x}{2}}\,dx = x\cdot\big(2 e^{\frac{x}{2}}\big) - \int \big(2 e^{\frac{x}{2}}\big)\,dx.
Simplificando:
\int x e^{\frac{x}{2}}\,dx = 2x e^{\frac{x}{2}} - 2\int e^{\frac{x}{2}}\,dx.

Passo 7

Já tínhamos calculado \int e^{\frac{x}{2}}\,dx = 2 e^{\frac{x}{2}}. Substituindo:
\int x e^{\frac{x}{2}}\,dx = 2x e^{\frac{x}{2}} - 2\cdot\big(2 e^{\frac{x}{2}}\big) + C.
Logo
\int x e^{\frac{x}{2}}\,dx = 2 e^{\frac{x}{2}}\big(x-2\big) + C.

Passo 8

Verificação rápida (dica útil na prova): derivando o resultado obtido deve voltar-se ao integrando.
Calcule a derivada de F(x)=2 e^{\frac{x}{2}}(x-2):
  • Primeiro, (2 e^{\frac{x}{2}})' = 2\cdot\frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} = e^{\frac{x}{2}}.
  • Usando regra do produto:
F'(x) = e^{\frac{x}{2}}(x-2) + 2 e^{\frac{x}{2}}\cdot 1 = e^{\frac{x}{2}}(x-2+2) = x e^{\frac{x}{2}}.
Confere. Está tudo correto.

Resposta

2 e^{\frac{x}{2}}\big(x-2\big) + C

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