Calcule a integral indefinida
.
(Valor: 20)
(Valor: 20)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Trata-se de integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração
.
O que se quer: uma antiderivada de, ou seja, uma função tal que .
Passo 2
Escolhendo o método: aqui temos um produto entre um polinômio em
(que é fácil de derivar) e uma função exponencial (fácil de integrar). Nesses casos o método mais direto é a fórmula de integração por partes. Vou usar esse método porque reduz o grau do polinômio e transforma a integral em algo simples.
Passo 3
Lembrete e derivação da fórmula de integração por partes (aula rápida):
- A regra do produto diz que, para funções
e ,
- Integrando ambos os lados:
- Reorganizando e tomando
e , obtemos a fórmula
Explicação das letras:
-
é uma função que vai ser diferenciada (gera ); -
é a parte que vamos integrar para obter .
A escolha dee costuma seguir a regra prática: escolher que simplifique ao ser derivada (polinômios são boas escolhas) e que seja fácil de integrar.
Passo 4
Aplicando à nossa integral. Faço a escolha
Justificativa:
fica mais simples ao derivar (
);
é fácil de integrar.
Passo 5
Calcular
e
:
- Diferenciando
: . - Integrando
: precisamos de .
Para calcular
use a fórmula
. Aqui
, portanto
Passo 6
Agora aplique a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Simplificando:
Passo 7
Já tínhamos calculado
. Substituindo:
Logo
Passo 8
Verificação rápida (dica útil na prova): derivando o resultado obtido deve voltar-se ao integrando.
Calcule a derivada de :
Calcule a derivada de
- Primeiro,
. - Usando regra do produto:
Confere. Está tudo correto.