Questão 1- (Valor 3,0) Quando a válvula globo é totalmente aberta, a Agua, a 209 C è descarregada a 0.003 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} em C. Determina a pressão em A. Os tubos são de ferro galvanizado AB e BC possuem diametro de 60 mm e 30 mm respectivamente. Considere as perdas secundárias SOMENTE dos cotovelos ( k=0,9 )e da válvula globo ( k=10 )

Passo 1

O enunciado (como foi enviado) nos dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Vazão volumétrica: Q=0{,}003\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Diâmetros dos tubos:
    • trecho AB: D_{AB}=60\\ \mathrm{mm}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
    • trecho BC: D_{BC}=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.
  • Perdas secundárias (fornecidas):
    • cotovelos: k_{\text{cot}}=0{,}9 (por cotovelo).
    • válvula globo (totalmente aberta): k_{\text{valv}}=10.
  • A questão pede: determinar a pressão em A (isto é, p_A).
Observações sobre o enunciado: há uma indicação de temperatura escrita como “209 C è” que parece ser um erro tipográfico. Vou assumir que se queria dizer água a 20^\circ\mathrm{C}. Também não foi fornecida uma figura nem dados essenciais como comprimentos dos trechos L_{AB} e L_{BC}, número e posição exata dos cotovelos, diferença de cota entre A e C ( z_A e z_C), nem a pressão em C (provavelmente descarga para a atmosfera, mas não está afirmado). Esses itens são necessários para um cálculo numérico definitivo.

Passo 2

Método geral que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas):
  • A equação de Bernoulli (para um escoamento estacionário, incompressível e ao longo da mesma linha de corrente) incluindo as perdas distribuídas e localizadas é a ferramenta padrão. Em termos de alturas de carga (dividindo por \rho g):
\frac{p_A}{\rho g}+z_A+\frac{v_A^2}{2g}=\frac{p_C}{\rho g}+z_C+\frac{v_C^2}{2g}+h_f+h_m,
onde:
  • p é pressão (Pa),
  • \rho é densidade do fluido (para água a 20^\circ\mathrm{C}, \rho\approx 998\\ \mathrm{kg/m^3}, pode aproximar para 1000\\ \mathrm{kg/m^3} em cálculos de prova),
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • z é a cota (m),
  • v é a velocidade média no trecho (m/s),
  • h_f é a perda de carga por atrito (soma das perdas distribuídas, em metros de coluna de fluido),
  • h_m é a perda de carga por singularidades (válvulas, cotovelos, etc.), também em metros.
  • Isolando p_A obtemos a fórmula prática (pressão absoluta em A):
p_A = p_C + \rho g(z_C-z_A) + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_C^2 - v_A^2\bigr) + \rho g\,(h_f+h_m).
Explicação do que cada termo representa (para você decorar e aplicar na prova):
  • p_C: pressão no ponto de descarga (se for ao ar livre, é a pressão atmosférica; para pressão gauge tomar p_C=0 como referência).
  • \rho g(z_C-z_A): termo hidrostático devido à diferença de cota.
  • \tfrac{1}{2}\rho(v_C^2 - v_A^2): efeito das diferenças de energia cinética por mudança de área.
  • \rho g(h_f+h_m): perdas de energia convertidas em aumento da pressão necessária em A para vencer atrito e singularidades.

Passo 3

Como obter as velocidades nos trechos (passo prático que você vai precisar fazer na prova):
  • Área da seção circular: \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}.
  • Velocidade média: \displaystyle v=\frac{Q}{A}.
Cálculo das áreas e velocidades com os dados fornecidos (aqui podemos calcular, pois Q e D foram dados):
  • Área em AB:
A_{AB}=\frac{\pi D_{AB}^2}{4}=\frac{\pi(0{,}06)^2}{4}=0{,}0009\pi\\ \mathrm{m^2}\approx0{,}002827\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade em AB:
v_{AB}=\frac{Q}{A_{AB}}=\frac{0{,}003}{0{,}002827}\approx1{,}06\\ \mathrm{m/s}.
  • Área em BC:
A_{BC}=\frac{\pi D_{BC}^2}{4}=\frac{\pi(0{,}03)^2}{4}=0{,}000225\pi\\ \mathrm{m^2}\approx0{,}000707\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade em BC:
v_{BC}=\frac{Q}{A_{BC}}=\frac{0{,}003}{0{,}000707}\approx4{,}24\\ \mathrm{m/s}.
Comentário amigo: já dá pra ver que o trecho menor (BC) tem velocidade bem maior — isso é importante porque a maioria das perdas locais (válvula) e por atrito no trecho fino vai depender de v_{BC}^2, ficando grande.

Passo 4

Classificação do escoamento e cálculo do fator de atrito (para perdas distribuídas):
  • Primeiro calcule o número de Reynolds: \displaystyle Re=\frac{vD}{\nu}, onde \nu é a viscosidade cinemática da água. A 20^\circ\mathrm{C}, \nu\approx 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (valor prático para provas).
    • Re_{AB}=\dfrac{1{,}06\cdot0{,}06}{1{,}0\times10^{-6}}\approx6{,}36\times10^{4} (regime turbulento).
    • Re_{BC}=\dfrac{4{,}24\cdot0{,}03}{1{,}0\times10^{-6}}\approx1{,}27\times10^{5} (regime turbulento).
  • Em escoamento turbulento em tubos rugosos usamos uma fórmula prática (Swamee–Jain) para o fator de atrito de Darcy f:
f=\frac{0{,}25}{\bigl[\log_{10}\bigl(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\bigr)\bigr]^2},
onde \varepsilon é a rugosidade absoluta do material. Para ferro galvanizado uma rugosidade prática típica é \varepsilon\approx0{,}15\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (use esse valor em provas se não for dado).
  • Usando \varepsilon=1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m} e os Re calculados, obtém-se (mostrando o cálculo passo a passo em prova):
    • f_{AB}\approx0{,}027 (cálculo numérico com Swamee–Jain).
    • f_{BC}\approx0{,}031.
Explicação: o fator f é adimensional e entra na perda por atrito via fórmula de Darcy–Weisbach.

Passo 5

Perdas por atrito (distribuídas) e como calculá-las:
  • Perda por atrito em um trecho i:
h_{f,i}=f_i\frac{L_i}{D_i}\frac{v_i^2}{2g},
onde L_i é o comprimento do trecho (m). Então a perda por atrito total é a soma:
h_f=\sum_i h_{f,i}=f_{AB}\frac{L_{AB}}{D_{AB}}\frac{v_{AB}^2}{2g}+f_{BC}\frac{L_{BC}}{D_{BC}}\frac{v_{BC}^2}{2g}.
Importante: sem os valores de L_{AB} e L_{BC} não dá para obter h_f numericamente. Entretanto é útil saber a ordem de grandeza por metro: podemos calcular a perda de carga por metro ( h_{f,i}/L_i):
  • Para AB: com os valores anteriores obtém-se aproximadamente h_{f,AB}/L_{AB}\approx0{,}0262\\ \mathrm{m\, de\\ coluna\\ por\\ m} (isto é, 0{,}0262 m de água perdida por cada metro de tubo).
  • Para BC: h_{f,BC}/L_{BC}\approx0{,}9588\\ \mathrm{m\, de\\ coluna\\ por\\ m} — bem maior por causa do diâmetro menor e da velocidade maior.
Em termos de pressão: multiplicando por \rho g converte-se em Pa por metro. Ex.: para BC dá cerca de 9{,}4\\ \mathrm{kPa} por metro (usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}).

Passo 6

Perdas localizadas (singularidades): válvula e cotovelos
  • A perda localizada em termos de altura é:
h_m=\sum_j k_j\frac{v_j^2}{2g},
onde cada k_j é o coeficiente da singularidade e v_j é a velocidade no trecho onde a singularidade está localizada.
  • No seu enunciado foram dados k_{\text{valv}}=10 e k_{\text{cot}}=0{,}9. A queda de pressão absoluta associada a uma singularidade é:
\Delta p_j = k_j\cdot\frac{1}{2}\rho v_j^2.
Exemplos numéricos usando a velocidade em BC (porque a válvula normalmente está no trecho de saída fino — se estiver em BC use v_{BC}):
  • Queda de pressão na válvula:
\Delta p_{\text{valv}} = 10\cdot\frac{1}{2}\rho v_{BC}^2 \approx 10\cdot\frac{1}{2}\cdot1000\cdot(4{,}24)^2 \approx 90{,}1\\ \mathrm{kPa}.
  • Queda de pressão por um cotovelo em BC:
\Delta p_{\text{cot,BC}} = 0{,}9\cdot\frac{1}{2}\rho v_{BC}^2 \approx 8{,}10\\ \mathrm{kPa}.
  • Queda de pressão por um cotovelo em AB (velocidade menor):
\Delta p_{\text{cot,AB}} = 0{,}9\cdot\frac{1}{2}\rho v_{AB}^2 \approx 0{,}51\\ \mathrm{kPa}.
Comentário: veja como a válvula domina as perdas locais (valor grande) porque k_{\text{valv}}=10 é elevado e v_{BC} é grande.

Passo 7

Reescrevendo a equação de Bernoulli para determinar p_A de forma prontinha para cálculo:
p_A = p_C + \rho g(z_C-z_A) + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_C^2 - v_A^2\bigr) + \rho g\left[f_{AB}\frac{L_{AB}}{D_{AB}}\frac{v_{AB}^2}{2g}+f_{BC}\frac{L_{BC}}{D_{BC}}\frac{v_{BC}^2}{2g}+\sum_j k_j\frac{v_j^2}{2g}\right].
Simplificando os termos \rho g e \tfrac{1}{2}\rho v^2 dá a forma prática:
p_A = p_C + \rho g(z_C-z_A) + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_C^2 - v_A^2\bigr) + \tfrac{1}{2}\rho\left[ f_{AB}\frac{L_{AB}}{D_{AB}}v_{AB}^2 + f_{BC}\frac{L_{BC}}{D_{BC}}v_{BC}^2 + \sum_j k_j v_j^2 \right].
Instrução passo-a-passo para a prova:
  1. Calcule v_{AB} e v_{BC} a partir de Q e dos diâmetros.
  2. Calcule Re e escolha fórmula para f (tabela, Moody ou Swamee–Jain).
  3. Calcule h_f usando os comprimentos L_{AB},L_{BC} (esses devem estar no enunciado ou figura).
  4. Some as perdas localizadas: para cada cotovelo e para a válvula some k_j v_j^2/2g.
  5. Aplique a equação de Bernoulli rearranjada acima para p_A.

Passo 8

Por que eu não dou um número final agora (resumindo os dados faltantes)?
Para dar \emph{um valor numérico} para p_A são imprescindíveis pelo menos:
  • os comprimentos L_{AB} e L_{BC} (para as perdas por atrito),
  • número e posição dos cotovelos (quantos cotovelos em cada trecho; os cotovelos em BC usam v_{BC}, os em AB usam v_{AB}),
  • a pressão em C (normalmente é atmosfera; se for descarga livre, p_C pode ser tomada como p_{\text{atm}} ou como zero de referência para pressão gauge),
  • as cotas z_A e z_C (diferença de nível entre A e C).
Sem esses dados qualquer valor numérico seria uma suposição e pode estar errado para o caso real. Posso, se você quiser, calcular p_A assumindo hipóteses razoáveis (por exemplo: p_C atmosférica =0 como referência gauge, z_A=z_C, L_{AB} e L_{BC} iguais a valores que eu invente). Mas o enunciado original não traz essas informações, então no sentido estrito não há como dar a pressão exata em A.

Passo 9

Recapitulando tudo de forma prática (o “checklist” que você usa na prova):
  • Passo 1: calcule v_{AB} e v_{BC} (feito acima).
  • Passo 2: calcule Re → escolha f (Swamee–Jain ou tabela de Moody).
  • Passo 3: calcule h_f usando L_i (necessário ter os L).
  • Passo 4: calcule h_m somando k_j v_j^2/(2g) para a válvula e para cada cotovelo (necessário saber quantos e onde estão).
  • Passo 5: aplique a equação de Bernoulli rearranjada para obter p_A.
Se quiser, eu já calculei para você os elementos que são independentes de comprimentos e número de cotovelos:
  • v_{AB}\approx1{,}06\\ \mathrm{m/s},
  • v_{BC}\approx4{,}24\\ \mathrm{m/s},
  • \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{C}^2-v_{A}^2\bigr)\approx8{,}44\\ \mathrm{kPa} (a diferença de termo cinético),
  • perda na válvula (se estiver em BC): \Delta p_{\text{valv}}\approx90{,}1\\ \mathrm{kPa},
  • perda por um cotovelo em BC: \approx8{,}10\\ \mathrm{kPa},
  • perda por um cotovelo em AB: \approx0{,}51\\ \mathrm{kPa},
  • perda por atrito em BC por metro: \approx9{,}4\\ \mathrm{kPa/m} (ordem de grandeza),
  • perda por atrito em AB por metro: \approx0{,}257\\ \mathrm{kPa/m}.
Esses números mostram que a válvula é uma perda muito grande (na casa de dezenas de kPa) e que o trecho fino BC tem perdas por atrito significativas por metro.

Resposta

Não é possível determinar numericamente p_A com os dados fornecidos. Faltam explicitamente os comprimentos L_{AB} e L_{BC}, o número e a posição dos cotovelos, a diferença de cota z_C-z_A e a confirmação da pressão em C (ex.: descarga à atmosfera). Com esses dados eu aplico imediatamente a fórmula mostrada e entrego o valor de p_A.

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