Calcule a integral definida:
\int_{-2}{2}\left(x{3}-x^{5}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{2}\bigl(x^{3}-x^{5}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve propriedade de simetria de funções ímpares e, em alternativa, cálculo direto pela antiderivada.

Passo 2

Observe que f(x)=x^{3}-x^{5} é função ímpar, pois
f(-x)=(-x)^{3}-(-x)^{5}=-x^{3}+x^{5}=-\bigl(x^{3}-x^{5}\bigr)=-f(x).

Passo 3

Pela propriedade de integrais de funções ímpares em intervalo simétrico \bigl[-a,a\bigr], temos
\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0.
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\int_{-2}^{2}\bigl(x^{3}-x^{5}\bigr)\,dx=0.

Passo 4

Para confirmar, podemos usar a antiderivada. Seja
F(x)=\int\bigl(x^{3}-x^{5}\bigr)\,dx=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{6}}{6}.

Passo 5

Avalia-se F(2)-F(-2):
F(2)=\frac{2^{4}}{4}-\frac{2^{6}}{6}=\frac{16}{4}-\frac{64}{6}=4-\frac{32}{3},
F(-2)=\frac{(-2)^{4}}{4}-\frac{(-2)^{6}}{6}=\frac{16}{4}-\frac{64}{6}=4-\frac{32}{3}.
Portanto
F(2)-F(-2)=\Bigl(4-\frac{32}{3}\Bigr)-\Bigl(4-\frac{32}{3}\Bigr)=0.

Resposta

0

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