Calcule a integral definida:
\int_{0}^{1}(1-u) \sqrt{u} d u=\frac{4}{15}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}(1-u)\sqrt{u}\,du.
O conteúdo que vamos usar é a linearidade da integral e a regra de potência, que diz que
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Primeiro, distribuímos o fator (1-u) sobre \sqrt{u}=u^{1/2}, obtendo
(1-u)\,u^{1/2} = u^{1/2} - u^{3/2}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}\,u^{3/2},
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{\tfrac{5}{2}} = \frac{2}{5}\,u^{5/2}.
Portanto, uma antiderivada é
F(u) = \frac{2}{3}\,u^{3/2} - \frac{2}{5}\,u^{5/2}.

Passo 4

Aplicamos os limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(u^{1/2}-u^{3/2})\,du = \Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}-\tfrac{2}{5}u^{5/2}\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl(\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{5}\Bigr)-0 = \frac{10-6}{15} = \frac{4}{15}.

Resposta

\frac{4}{15}

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