Calcule a integral definida:
\int_{0}^{1} x \tan ^{-1} x d x=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4} \ln 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\,\tan^{-1}x \,dx.
O conteúdo que vamos usar é a técnica de integração por partes, que diz
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para partes:
u = \tan^{-1}x,\quad dv = x\,dx.
Então, derivando e integrando, obtemos
du = \frac{dx}{1+x^2}, \qquad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos
\int_{0}^{1} x\,\tan^{-1}x \,dx = \Bigl.\frac{x^2}{2}\,\tan^{-1}x\Bigr|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2}\,\frac{dx}{1+x^2}.
O primeiro termo é
\frac{1^2}{2}\,\tan^{-1}(1) - 0 = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}.

Passo 4

Ficamos então com
\int_{0}^{1} x\,\tan^{-1}x \,dx = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x^2}{1+x^2}\,dx.
Para integrar \displaystyle\frac{x^2}{1+x^2}, observamos que
\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}.
Logo
\int_{0}^{1}\frac{x^2}{1+x^2}\,dx = \int_{0}^{1} 1\,dx \;-\;\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}\,dx = \Bigl[x\Bigr]_{0}^{1} \;-\;\Bigl[\tan^{-1}x\Bigr]_{0}^{1} = 1 - \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Substituindo de volta,
\int_{0}^{1} x\,\tan^{-1}x \,dx = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\Bigl(1 - \frac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}.

Resposta

\boxed{\int_{0}^{1} x\,\tan^{-1}x \,dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}.}

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