Calcule a integral definida:
\int_{0}^{1} x \tan ^{-1} x d x=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4} \ln 2
\int_{0}^{1} x \tan ^{-1} x d x=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4} \ln 2
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
O conteúdo que vamos usar é a técnica de integração por partes, que diz
Passo 2
Escolhemos as funções para partes:
Então, derivando e integrando, obtemos
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes, temos
O primeiro termo é
Passo 4
Ficamos então com
Para integrar
, observamos que
Logo
Passo 5
Substituindo de volta,