Calcule a integral definida:
\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}} x^{5} d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\; x^{5}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \sqrt{1+x^{2}}\; x^{5}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=1.
  • Precisamos obter um valor numérico fechado (exata) da integral.

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): quando temos uma função do tipo \sqrt{1+x^{2}} combinada com potências de x, uma boa ideia é tentar a substituição
u = 1 + x^{2},
porque \sqrt{1+x^{2}} = \sqrt{u} e du envolve x\,dx. Vou explicar por que isso ajuda e como trocar tudo para u.

Passo 3

Cálculo do diferencial e mudança de variável:
  • Definimos u = 1 + x^{2}.
  • Derivando, obtemos du = 2x\,dx, ou seja
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Isso significa que sempre que aparecer um fator x\,dx na integral, podemos substituí-lo por \tfrac{1}{2}du. Mas nossa integral tem x^{5}\,dx, que é x^{4}\cdot x\,dx. Precisamos escrever x^{4} em função de u.

Passo 4

Escrever x^{4} em função de u:
  • De u = 1 + x^{2} temos x^{2} = u - 1.
  • Portanto
x^{4} = (x^{2})^{2} = (u-1)^{2}.
Assim x^{5}\,dx = x^{4}\cdot x\,dx = (u-1)^{2}\cdot \frac{1}{2}\,du.

Passo 5

Trocar os limites de integração para a variável u:
  • Quando x=0, u = 1 + 0^{2} = 1.
  • Quando x=1, u = 1 + 1^{2} = 2.
    Logo a integral em x sobre [0,1] vira uma integral em u sobre [1,2].

Passo 6

Reescrever a integral totalmente em u:
\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\; x^{5}\,dx = \int_{1}^{2} \sqrt{u}\; (u-1)^{2}\cdot \frac{1}{2}\,du.
Colocando em forma mais manejável, usamos \sqrt{u}=u^{1/2} e expandimos (u-1)^{2}:
(u-1)^{2} = u^{2} - 2u + 1.
Portanto
\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\; x^{5}\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{1/2}\,(u^{2}-2u+1)\,du.

Passo 7

Distribuir u^{1/2} e simplificar potências:
u^{1/2}(u^{2}-2u+1) = u^{5/2} - 2u^{3/2} + u^{1/2}.
Assim a integral fica
\frac{1}{2}\int_{1}^{2} \bigl(u^{5/2} - 2u^{3/2} + u^{1/2}\bigr)\,du.
Agora integramos termo a termo usando a fórmula básica:
  • Para \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} (válido para n\neq -1). Aqui n será fracionário, mas a fórmula vale do mesmo jeito.

Passo 8

Calcular as integrais termo a termo:
  • \displaystyle \int u^{5/2}\,du = \frac{u^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}u^{7/2}.
  • \displaystyle \int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2}.
  • \displaystyle \int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
    Colocando tudo com o fator \tfrac{1}{2} multiplicando:
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{7}u^{7/2} - 2\cdot\frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2}\right) = \left(\frac{1}{7}u^{7/2} - \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{1}{3}u^{3/2}\right).
Portanto a primitiva em u é
F(u) = \frac{1}{7}u^{7/2} - \frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{1}{3}u^{3/2}.

Passo 9

Avaliar a primitiva entre u=1 e u=2:
\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^{2}}\; x^{5}\,dx = F(2) - F(1).
Calculamos as potências de 2 em expoentes meio-inteiros:
  • 2^{1/2} = \sqrt{2}.
  • 2^{3/2} = 2\sqrt{2}.
  • 2^{5/2} = 4\sqrt{2}.
  • 2^{7/2} = 8\sqrt{2}.
    Assim
F(2) = \frac{1}{7}\cdot 8\sqrt{2} - \frac{2}{5}\cdot 4\sqrt{2} + \frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}\left(\frac{8}{7} - \frac{8}{5} + \frac{2}{3}\right).
E
F(1) = \frac{1}{7}\cdot 1 - \frac{2}{5}\cdot 1 + \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}.

Passo 10

Calcular as combinações de frações (usar denominador comum 105):
Para o coeficiente de \sqrt{2}:
\frac{8}{7} - \frac{8}{5} + \frac{2}{3} = \frac{120}{105} - \frac{168}{105} + \frac{70}{105} = \frac{22}{105}.
Para F(1):
\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{15}{105} - \frac{42}{105} + \frac{35}{105} = \frac{8}{105}.
Então
F(2) - F(1) = \sqrt{2}\cdot \frac{22}{105} - \frac{8}{105} = \frac{22\sqrt{2} - 8}{105}.

Resposta

\dfrac{22\sqrt{2}-8}{105}

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