Calcule a integral definida:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - Precisamos obter um valor numérico fechado (exata) da integral.
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): quando temos uma função do tipo
combinada com potências de
, uma boa ideia é tentar a substituição
porque
e
envolve
. Vou explicar por que isso ajuda e como trocar tudo para
.
Passo 3
Cálculo do diferencial e mudança de variável:
- Definimos
. - Derivando, obtemos
, ou seja
Isso significa que sempre que aparecer um fator
na integral, podemos substituí-lo por
. Mas nossa integral tem
, que é
. Precisamos escrever
em função de
.
Passo 4
Escrever
em função de
:
- De
temos . - Portanto
Assim
.
Passo 5
Trocar os limites de integração para a variável
:
- Quando
, . - Quando
, .
Logo a integral emsobre vira uma integral em sobre .
Passo 6
Reescrever a integral totalmente em
:
Colocando em forma mais manejável, usamos
e expandimos
:
Portanto
Passo 7
Distribuir
e simplificar potências:
Assim a integral fica
Agora integramos termo a termo usando a fórmula básica:
- Para
(válido para ). Aqui será fracionário, mas a fórmula vale do mesmo jeito.
Passo 8
Calcular as integrais termo a termo:
-
-
-
Colocando tudo com o fatormultiplicando:
Portanto a primitiva em
é
Passo 9
Avaliar a primitiva entre
e
:
Calculamos as potências de
em expoentes meio-inteiros:
-
-
-
-
Assim
E
Passo 10
Calcular as combinações de frações (usar denominador comum
):
Para o coeficiente de
:
Para
:
Então