Calcule a integral definida:
\int_{1}^{2} \frac{d x}{(3-5 x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\frac{dx}{(3-5x)^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função integranda é \frac{1}{(3-5x)^{2}}.
  • Os limites de integração são x=1 (limite inferior) e x=2 (limite superior).

Passo 2

Observação didática sobre método: quando temos uma função da forma (ax+b)^{n} dentro de uma integral, uma técnica simples e direta é a substituição linear u=ax+b. Isso funciona porque a derivada de u em relação a x é uma constante, o que torna a integral tratável com a regra da potência. A fórmula geral útil é
\int (ax+b)^{n}\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\quad\text{para }n\neq -1,
que se obtém pela substituição u=ax+b e aplicando a regra da potência \int u^{n}du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}. Vamos aplicar isso passo a passo ao nosso caso com a=-5, b=3 e n=-2.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 3-5x.
Calculamos o diferencial:
du = -5\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{-5}.
Também transformamos os limites da integral para a variável u:
\text{quando }x=1,\; u=3-5\cdot 1 = 3-5 = -2,
\text{quando }x=2,\; u=3-5\cdot 2 = 3-10 = -7.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{1}^{2}\frac{dx}{(3-5x)^{2}} = \int_{u=-2}^{u=-7}\frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{du}{-5}.
Fatorando a constante -\dfrac{1}{5} fora da integral:
= -\frac{1}{5}\int_{-2}^{-7} u^{-2}\,du.
Observação importante sobre os limites: note que ao substituir, o limite inferior em x virou u=-2 e o superior virou u=-7. Podemos continuar com estes limites ou, para evitar sinais estranhos, inverter os limites (o que troca o sinal). Vou manter como está e integrar diretamente.

Passo 5

Aplicamos a regra da potência para integrar u^{-2}. A fórmula é
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).
Aqui n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1} = -\frac{1}{u}.
Voltando à expressão com o fator constante:
-\frac{1}{5}\int_{-2}^{-7} u^{-2}\,du = -\frac{1}{5}\Big[ -\frac{1}{u} \Big]_{u=-2}^{u=-7}.
Os dois sinais menos se cancelam:
= \frac{1}{5}\Big[ \frac{1}{u} \Big]_{u=-2}^{u=-7}.

Passo 6

Agora avaliamos a primitiva nos limites. Temos a primitiva em termos de u:
F(u)=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{u}=\frac{1}{5u}.
Voltando a x, isso corresponde a
F(x)=\frac{1}{5(3-5x)},
mas vamos usar u para calcular nos limites já convertidos:
\int_{1}^{2}\frac{dx}{(3-5x)^{2}} = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{u}\Bigg|_{u=-2}^{u=-7}\right) = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{-7}-\frac{1}{-2}\right).

Passo 7

Efetuando as contas passo a passo:
\frac{1}{-7}-\frac{1}{-2} = -\frac{1}{7} + \frac{1}{2}.
Colocando em denominador comum 14 ou melhor 70 para evitar frações intermediárias:
-\frac{1}{7} + \frac{1}{2} = -\frac{10}{70} + \frac{35}{70} = \frac{25}{70} = \frac{5}{14}.
Agora multiplicamos pelo fator \dfrac{1}{5}:
\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{14} = \frac{1}{14}.

Resposta

\frac{1}{14}

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