Calcule a integral definida: \int_{1}^{2} \frac{d x}{(3-5 x)^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\frac{dx}{(3-5x)^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
A função integranda é \frac{1}{(3-5x)^{2}}.
Os limites de integração são x=1 (limite inferior) e x=2 (limite superior).
Passo 2
Observação didática sobre método: quando temos uma função da forma (ax+b)^{n} dentro de uma integral, uma técnica simples e direta é a substituição linear u=ax+b. Isso funciona porque a derivada de u em relação a x é uma constante, o que torna a integral tratável com a regra da potência. A fórmula geral útil é
que se obtém pela substituição u=ax+b e aplicando a regra da potência \int u^{n}du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}. Vamos aplicar isso passo a passo ao nosso caso com a=-5, b=3 e n=-2.
Passo 3
Fazemos a substituição
u = 3-5x.
Calculamos o diferencial:
du = -5\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{-5}.
Também transformamos os limites da integral para a variável u:
Fatorando a constante -\dfrac{1}{5} fora da integral:
= -\frac{1}{5}\int_{-2}^{-7} u^{-2}\,du.
Observação importante sobre os limites: note que ao substituir, o limite inferior em x virou u=-2 e o superior virou u=-7. Podemos continuar com estes limites ou, para evitar sinais estranhos, inverter os limites (o que troca o sinal). Vou manter como está e integrar diretamente.
Passo 5
Aplicamos a regra da potência para integrar u^{-2}. A fórmula é