Calcule a integral definida: \int_{0}^{4} \sqrt{2 x+1}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4} \sqrt{2x+1}\,dx
Informações dadas: os limites de integração são 0 e 4, e o integrando é a raiz quadrada de 2x+1, ou seja \sqrt{2x+1}.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Ideia chave (explicação didática): quando temos uma expressão composta dentro de uma integral, como \sqrt{2x+1}, é muito útil fazer uma mudança de variável (substituição) que torne a integral mais simples. A substituição é o “contrário” da regra da cadeia da derivada: se u=g(x), então du=g'(x)\,dx. Em integrais, isso permite transformar uma expressão complicada em uma potência simples de u. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Escolhemos a substituição
u = 2x+1.
Agora calculamos a diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x:
du = 2\,dx.
Isolando dx temos
dx = \frac{du}{2}.
Passo 4
Também precisamos transformar os limites de integração (porque estamos trocando de variável). Quando x=0,