Calcule a integral definida:
\int_{0}^{4} \sqrt{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4} \sqrt{2x+1}\,dx
Informações dadas: os limites de integração são 0 e 4, e o integrando é a raiz quadrada de 2x+1, ou seja \sqrt{2x+1}.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Ideia chave (explicação didática): quando temos uma expressão composta dentro de uma integral, como \sqrt{2x+1}, é muito útil fazer uma mudança de variável (substituição) que torne a integral mais simples. A substituição é o “contrário” da regra da cadeia da derivada: se u=g(x), então du=g'(x)\,dx. Em integrais, isso permite transformar uma expressão complicada em uma potência simples de u. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escolhemos a substituição
u = 2x+1.
Agora calculamos a diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x:
du = 2\,dx.
Isolando dx temos
dx = \frac{du}{2}.

Passo 4

Também precisamos transformar os limites de integração (porque estamos trocando de variável). Quando x=0,
u = 2\cdot 0 + 1 = 1.
Quando x=4,
u = 2\cdot 4 + 1 = 9.
Substituindo u e dx na integral, obtemos
\int_{0}^{4} \sqrt{2x+1}\,dx = \int_{u=1}^{u=9} \sqrt{u}\;\frac{du}{2}.
Colocando a constante 1/2 fora da integral:
\int_{1}^{9} \sqrt{u}\;\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{9} \sqrt{u}\,du.

Passo 5

Agora usamos a regra da potência para integrais (explicação didática): se tivermos uma função u^{n} com n\neq -1, então a antiderivada é
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui \,u é a variável de integração e n é o expoente. No nosso caso \sqrt{u}=u^{1/2}, então n=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Aplicando a fórmula com n=\tfrac{1}{2}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Lembrando do fator 1/2 que estava fora da integral, a primitiva completa para o nosso integrando é
\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2} = \frac{1}{3}u^{3/2}.

Passo 7

Agora avaliamos a primitiva nos limites u=1 e u=9:
\left.\frac{1}{3}u^{3/2}\right|_{1}^{9} = \frac{1}{3}\bigl(9^{3/2} - 1^{3/2}\bigr).
Calculando 9^{3/2}: primeiro \sqrt{9}=3, então 9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27. E 1^{3/2}=1. Logo
\frac{1}{3}(27-1)=\frac{1}{3}\cdot 26 = \frac{26}{3}.

Resposta

\frac{26}{3}

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