Calcule a integral definida:
\int_{0}^{1}(3 t-2)^{50} d t

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{1}(3t-2)^{50}\,dt.
Informações dadas:
  • A função a integrar é (3t-2)^{50}.
  • O intervalo de integração é de t=0 até t=1.
    O que se pede: calcular exatamente o valor numérico (fechado) da integral.

Passo 2

Vamos fazer uma mudança de variável (substituição) para simplificar a integral. A ideia da substituição é escolher u igual à expressão interna da potência para transformar a integral numa forma mais simples. Formalmente, se fizermos a troca
u = 3t-2,
então devemos relacionar du e dt. Diferenciando ambos os lados em relação a t, obtemos
du = 3\,dt.
Isso vem da regra da derivada: a derivada de 3t-2 em relação a t é 3. Portanto podemos escrever
dt = \frac{du}{3}.

Passo 3

Ao mudar de variável também precisamos mudar os limites de integração para valores em u. Calculamos:
  • Quando t=0, temos u = 3\cdot 0 - 2 = -2.
  • Quando t=1, temos u = 3\cdot 1 - 2 = 1.
Substituindo tudo na integral original:
\int_{0}^{1}(3t-2)^{50}\,dt = \int_{u=-2}^{u=1} u^{50}\cdot \frac{du}{3}.
Podemos tirar o fator constante \frac{1}{3} fora da integral:
\int_{0}^{1}(3t-2)^{50}\,dt = \frac{1}{3}\int_{-2}^{1} u^{50}\,du.

Passo 4

Agora integramos \int u^{50}\,du. Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=50, logo
\int u^{50}\,du = \frac{u^{51}}{51} + C.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida e lembrando do fator \frac{1}{3}:
\frac{1}{3}\int_{-2}^{1} u^{50}\,du = \frac{1}{3}\left[\frac{u^{51}}{51}\right]_{-2}^{1}.
Isso dá
\frac{1}{3}\cdot\frac{1^{51} - (-2)^{51}}{51}.
Observação sobre o sinal: como 51 é ímpar, (-2)^{51} = -2^{51}. Portanto
1^{51} - (-2)^{51} = 1 - (-2^{51}) = 1 + 2^{51}.

Passo 6

Juntando os fatores constantes: 3\cdot 51 = 153. Então o resultado simplificado é
\frac{1+2^{51}}{153}.
Um pequeno exemplo para fixar a ideia: se tivéssemos \int_{0}^{1}(3t-2)\,dt (exponente 1), fazendo a mesma substituição daria \frac{1+2^{2}}{3\cdot 2}=\frac{5}{6}, o procedimento é exatamente o mesmo só com potência menor.

Resposta

\dfrac{1+2^{51}}{153}

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