Calcule a integral definida:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O intervalo de integração é de
até .
O que se pede: calcular exatamente o valor numérico (fechado) da integral.
Passo 2
Vamos fazer uma mudança de variável (substituição) para simplificar a integral. A ideia da substituição é escolher
igual à expressão interna da potência para transformar a integral numa forma mais simples. Formalmente, se fizermos a troca
então devemos relacionar
e
. Diferenciando ambos os lados em relação a
, obtemos
Isso vem da regra da derivada: a derivada de
em relação a
é
. Portanto podemos escrever
Passo 3
Ao mudar de variável também precisamos mudar os limites de integração para valores em
. Calculamos:
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Substituindo tudo na integral original:
Podemos tirar o fator constante
fora da integral:
Passo 4
Agora integramos
. Usamos a regra da potência para integrais: para
,
No nosso caso
, logo
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida e lembrando do fator
:
Isso dá
Observação sobre o sinal: como
é ímpar,
. Portanto
Passo 6
Juntando os fatores constantes:
. Então o resultado simplificado é
Um pequeno exemplo para fixar a ideia: se tivéssemos
(exponente
), fazendo a mesma substituição daria
, o procedimento é exatamente o mesmo só com potência menor.