Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Não há limites: queremos uma antiderivada (ou seja, a primitiva) da função.
- Devemos fornecer a primitiva mais uma constante de integração
.
Passo 2
Idéia geral (sem resolver ainda): quando temos uma função trigonométrica composta do tipo
, uma técnica simples e padrão é usar substituição. A substituição troca a parte interna da função por uma nova variável, simplificando a integral. Vou aplicar isso aqui.
Passo 3
Escolhemos a substituição
Agora derivamos em relação a
para relacionar
com
:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de
.
Passo 4
Substituindo na integral:
Como
é constante, podemos colocá-la fora da integral:
Passo 5
Agora usamos a primitiva conhecida de
: uma antiderivada de
é
, porque a derivada de
é
. Então
Substituindo de volta:
Passo 6
Voltando à variável original
(lembrando que
):
Essa é a primitiva procurada.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando
com respeito a
obtemos
ou seja, retorna ao integrando — a verificação bate.