Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \cos (1+5 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos(1+5t)\,dt.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é \cos(1+5t).
  • A variável de integração é t.
  • Não há limites: queremos uma antiderivada (ou seja, a primitiva) da função.
  • Devemos fornecer a primitiva mais uma constante de integração C.

Passo 2

Idéia geral (sem resolver ainda): quando temos uma função trigonométrica composta do tipo \cos(\text{algo}), uma técnica simples e padrão é usar substituição. A substituição troca a parte interna da função por uma nova variável, simplificando a integral. Vou aplicar isso aqui.

Passo 3

Escolhemos a substituição
u = 1+5t.
Agora derivamos em relação a t para relacionar du com dt:
\frac{du}{dt}=5\quad\Rightarrow\quad du=5\,dt\quad\Rightarrow\quad dt=\frac{du}{5}.
Isso nos permite reescrever a integral em termos de u.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \cos(1+5t)\,dt = \int \cos(u)\cdot\frac{du}{5}.
Como \frac{1}{5} é constante, podemos colocá-la fora da integral:
\int \cos(1+5t)\,dt = \frac{1}{5}\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Agora usamos a primitiva conhecida de \cos(u): uma antiderivada de \cos(u) é \sin(u), porque a derivada de \sin(u) é \cos(u). Então
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
Substituindo de volta:
\frac{1}{5}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{5}\sin(u) + C.

Passo 6

Voltando à variável original t (lembrando que u=1+5t):
\frac{1}{5}\sin(u) + C = \frac{1}{5}\sin(1+5t) + C.
Essa é a primitiva procurada.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando \frac{1}{5}\sin(1+5t)+C com respeito a t obtemos
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{5}\sin(1+5t)\right)=\frac{1}{5}\cos(1+5t)\cdot 5=\cos(1+5t),
ou seja, retorna ao integrando — a verificação bate.

Resposta

\dfrac{1}{5}\sin(1+5t)+C

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