Calcule a integral definida:
\int_{0}^{1} x e{-x{2}} d x=\frac{1}{2}\left(1-e^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\,e^{-x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois o expoente -x^{2} tem derivada proporcional a x, que aparece multiplicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}, \qquad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Quando x varia de 0 a 1, u varia de 0 a 1.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{1} x\,e^{-x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du.

Passo 4

Agora usamos que
\int e^{-u}\,du = -\,e^{-u}.
Logo, avaliando de 0 a 1,
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\Bigl[-\,e^{-u}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(-e^{-1} -(-e^{0})\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr).

Resposta

\int_{0}^{1} x\,e^{-x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr).

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