Calcule a integral definida.
a) int0^1(x^2+2 x-5) d x
b) int0^pi / 4(cos x+sin x) d x
c) int1^2(1 / x+e^x) d x

Passo 1

Estamos calculando três integrais definidas: a) integral0^1(x^2+2x-5),dx, b) integral0^pi/4(cos x+sin x),dx e c) integral1^2l(tfrac1x+e^xr),dx. O conteúdo é integração definida e antiderivadas, e vamos precisar das antiderivadas básicas de polinômios, funções trigonométricas, da função recíproca e da exponencial.

Passo 2

Antes de resolver, lembramos as antiderivadas principais e o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral x^n,dx=x^n+1n+1, integral cos x,dx=sin x, integral sin x,dx=-cos x, integral 1x,dx=ln|x|, integral e^x,dx=e^x,
e
integrala^b f(x),dx = F(b) - F(a),
onde F é uma antiderivada de f.

Passo 3

Para a), f(x)=x^2+2x-5. Tomamos como antiderivada
F(x)=x^33+x^2-5x
Logo
integral0^1(x^2+2x-5),dx = F(1)-F(0) = l(tfrac13+1-5r)-0 = -113

Passo 4

Para b), f(x)=cos x + sin x. Uma antiderivada é
F(x)=sin x - cos x
Assim
integral0^pi/4(cos x+sin x),dx = Fl(tfracpi4r)-F(0) = l(tfracraiz22-tfracraiz22r)-(0-1)=1

Passo 5

Para c), f(x)=tfrac1x+e^x. Escolhemos
F(x)=ln|x|+e^x
Logo
integral1^2l(tfrac1x+e^xr),dx = F(2)-F(1) = (ln 2 + e^2)-(0+e)=e^2 - e + ln 2

Resposta

a) -tfrac113, b) 1, c) e^2 - e + ln 2.

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