Encontre a derivada da função.
a) f(x)=(x^2+1)(x^3-1)
b) f(x)=fracx^2+1x^2-1
c) f(x)=sin (x^2)

Passo 1

O exercício pede para encontrar a derivada de três funções: uma em produto, outra em quociente e outra composta com seno. Vamos aplicar as regras do produto, do quociente e da cadeia.

Passo 2

Para f(x)=(x{2}+1)(x{3}-1) usamos a regra do produto, que diz que (u·v)’=u’·v+u·v’. Aqui u=x^{2}+1 e v=x^{3}-1, então u’=2x e v’=3x^{2}. Logo:
f'(x)=2x(x^3-1)+(x^2+1)cdot3x^2
Agora simplificamos:
f'(x)=2x^4-2x+3x^4+3x^2=5x^4+3x^2-2x

Passo 3

Para f(x)=\frac{x{2}+1}{x{2}-1} usamos a regra do quociente, que diz que (g/h)’=(g’·h−g·h’)/h^{2}. Aqui g=x^{2}+1, g’=2x; h=x^{2}-1, h’=2x. Assim:
f'(x)=2x(x^2-1)-(x^2+1)cdot2x(x^2-1)^2
No numerador fica 2x{3}-2x-2x{3}-2x=-4x, então
f'(x)=-4x(x^2-1)^2

Passo 4

Para f(x)=\sin(x^{2}) aplicamos a regra da cadeia: se f(x)=
\sin(u) com u=x^{2}, então f’(x)=
\cos(u)·u’. Como u’=2x, temos
f'(x)=cos(x^2)cdot2x=2xcos(x^2)

Resposta

Para a) f’(x)=5x{4}+3x{2}-2x; para b) f’(x)=-\frac{4x}{(x{2}-1){2}}; para c) f’(x)=2x\cos(x^{2}).

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