Encontre a derivada da função.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O exercício pede para encontrar a derivada de três funções: uma em produto, outra em quociente e outra composta com seno. Vamos aplicar as regras do produto, do quociente e da cadeia.
Passo 2
Para f(x)=(x{2}+1)(x{3}-1) usamos a regra do produto, que diz que (u·v)’=u’·v+u·v’. Aqui u=x^{2}+1 e v=x^{3}-1, então u’=2x e v’=3x^{2}. Logo:
Agora simplificamos:
Passo 3
Para f(x)=\frac{x{2}+1}{x{2}-1} usamos a regra do quociente, que diz que (g/h)’=(g’·h−g·h’)/h^{2}. Aqui g=x^{2}+1, g’=2x; h=x^{2}-1, h’=2x. Assim:
No numerador fica 2x{3}-2x-2x{3}-2x=-4x, então
Passo 4
Para f(x)=\sin(x^{2}) aplicamos a regra da cadeia: se f(x)=
\sin(u) com u=x^{2}, então f’(x)=
\cos(u)·u’. Como u’=2x, temos
\sin(u) com u=x^{2}, então f’(x)=
\cos(u)·u’. Como u’=2x, temos
Resposta
Para a) f’(x)=5x{4}+3x{2}-2x; para b) f’(x)=-\frac{4x}{(x{2}-1){2}}; para c) f’(x)=2x\cos(x^{2}).