Calcule a integral definida
, usando:
(a) uma substituição hiperbólica conveniente;
(b) uma substituição trigonométrica conveniente;
(c) uma substituição simples.
(a) uma substituição hiperbólica conveniente;
(b) uma substituição trigonométrica conveniente;
(c) uma substituição simples.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
usando três técnicas de substituição: (a) hiperbólica, (b) trigonométrica e (c) simples. O conteúdo principal é aplicar mudança de variável para simplificar a raiz quadrada e depois avaliar o resultado nos limites dados.
Passo 2
(a) Substituição hiperbólica. Definimos
e como
, temos
Fazendo
(
),
Logo o valor definido é
Passo 3
(b) Substituição trigonométrica. Fazemos
os limites vão de
até
. Então
Use
,
, logo
Assim o valor definido é
Passo 4
(c) Substituição simples. Tomamos
ficando
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)