Calcule a integral definida
integral0^raiz2 t raiz1+4 t^2 d t, usando:
(a) uma substituição hiperbólica conveniente;
(b) uma substituição trigonométrica conveniente;
(c) uma substituição simples.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^raiz2 t raiz1+4t^2,dt
usando três técnicas de substituição: (a) hiperbólica, (b) trigonométrica e (c) simples. O conteúdo principal é aplicar mudança de variável para simplificar a raiz quadrada e depois avaliar o resultado nos limites dados.

Passo 2

(a) Substituição hiperbólica. Definimos
2t = sinh u, t = 12sinh u, dt = 12cosh u,du,
e como raiz1+4t^2=raiz1+sinh^2u=cosh u, temos
integral0^raiz2 traiz1+4t^2,dt =integralu=0^u=arsinh(2raiz2) 12sinh u;cosh u;12cosh u,du =14integral0^arsinh(2raiz2)sinh u,cosh^2u,du
Fazendo w=cosh u ( dw=sinh u,du),
integralsinh u,cosh^2u,du =integral w^2,dw =w^33 =cosh^3u3
Logo o valor definido é
14gl[cosh^3u3gr]0^arsinh(2raiz2) =112l(cosh^3(arsinh(2raiz2))-cosh^3(0)r) =112l(3^3-1^3r) =2612 =136

Passo 3

(b) Substituição trigonométrica. Fazemos
t=12tantheta, dt=12sec^2theta,dtheta, raiz1+4t^2=sectheta,
os limites vão de theta=0 até theta=arctan(2raiz2). Então
integral traiz1+4t^2,dt =integral 12tantheta;sectheta;12sec^2theta,dtheta =14integral tantheta,sec^3theta,dtheta
Use u=sectheta, du=secthetatantheta,dtheta, logo
integral tantheta,sec^3theta,dtheta =integral u^2,du =u^33 =sec^3theta3
Assim o valor definido é
14gl[sec^3theta3gr]0^arctan(2raiz2) =112l(sec^3(arctan(2raiz2))-sec^3(0)r) =112l(3^3-1^3r) =136

Passo 4

(c) Substituição simples. Tomamos
u=1+4t^2, du=8t,dt, t,dt=du8,
ficando
integral0^raiz2traiz1+4t^2,dt =18integralu=1^u=1+4(raiz2)^2raizu,du =18integral1^9u^tfrac12,du =18gl[23u^tfrac32gr]1^9 =112l(9^tfrac32-1^tfrac32r) =136

Resposta

(a) 136
(b) 136
(c) 136

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