Calcule as integrais a seguir por substituição trigonométrica:
integral raiz25-x^2x^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raiz25 - x^2x^2 , dx
usando substituição trigonométrica. Como temos raiza^2-x^2 com a=5, vamos usar x=5sintheta.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = 5sintheta, dx = 5costheta,dtheta, raiz25 - x^2 = raiz25 - 25sin^2theta = 5costheta, x^2 = 25sin^2theta
A integral vira
integral 5costheta25sin^2theta,(5costheta,dtheta) = integral 25cos^2theta25sin^2theta,dtheta = integral cot^2theta,dtheta

Passo 3

Usamos a identidade
cot^2theta = csc^2theta - 1,
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integral cot^2theta,dtheta = integral (csc^2theta - 1),dtheta

Passo 4

Integramos cada termo:
integral csc^2theta,dtheta = -cottheta, integral -1,dtheta = -theta
Portanto
integral cot^2theta,dtheta = -cottheta - theta + C

Passo 5

Voltando à variável x:
cottheta = costhetasintheta = raiz25 - x^2x, theta = arcsin!l(tfracx5r)
Substituindo em -cottheta - theta + C obtemos
-raiz25 - x^2x ;-;arcsin!l(tfracx5r) + C

Resposta

integral raiz25 - x^2x^2,dx = -raiz25 - x^2x ;-;arcsin!l(tfracx5r) + C

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