Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função:
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível de
e esboçar o gráfico tridimensional dessa função. O conteúdo é identificação de curvas de nível (onde
é constante) e reconhecimento do tipo de superfície (paraboloide circular invertido).
Passo 2
Para encontrar as curvas de nível, fixamos
. Assim,
rearranjando,
Isso vale apenas se
, ou seja,
. Cada curva de nível é, portanto, um círculo centrado na origem com raio
Passo 3
Escolhemos alguns valores de
para esboçar as curvas no plano
:
- Para
, o raio é . - Para
, o raio é . - Para
, o raio é . - Para
, o raio é . - Para
, o raio é (ponto no centro).
No esboço, traçamos círculos concêntricos de raios
, marcando cada um com o valor de
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico em 3D, notamos que a superfície é um paraboloide circular invertido de vértice em
pois em
temos
, e conforme
aumenta,
decresce até tornar-se zero quando
. Cada plano horizontal
corta a superfície em um círculo de raio
. O “chapéu” do paraboloide abre para baixo.
Resposta
Curvas de nível: círculos centrados em
dados por
com raios
.
Gráfico em 3D: paraboloide circular invertido de vértice em , aberto para baixo, cujas interseções com planos
são os círculos acima.
Gráfico em 3D: paraboloide circular invertido de vértice em