Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função:
z=f(x, y)=16-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível de z=f(x,y)=16 - x^2 - y^2 e esboçar o gráfico tridimensional dessa função. O conteúdo é identificação de curvas de nível (onde f(x,y) é constante) e reconhecimento do tipo de superfície (paraboloide circular invertido).

Passo 2

Para encontrar as curvas de nível, fixamos z=c. Assim,
c = 16 - x^2 - y^2
rearranjando,
x^2 + y^2 = 16 - c
Isso vale apenas se 16 - c >= 0, ou seja, c <= 16. Cada curva de nível é, portanto, um círculo centrado na origem com raio
r = raiz16 - c

Passo 3

Escolhemos alguns valores de c<=16 para esboçar as curvas no plano xy:
  • Para c=0, o raio é r=raiz16=4.
  • Para c=4, o raio é r=raiz12approx3,46.
  • Para c=8, o raio é r=raiz8approx2,83.
  • Para c=12, o raio é r=raiz4=2.
  • Para c=16, o raio é r=raiz0=0 (ponto no centro).
No esboço, traçamos círculos concêntricos de raios 4,,raiz12,,raiz8,,2,,0, marcando cada um com o valor de c.

Passo 4

Para esboçar o gráfico em 3D, notamos que a superfície é um paraboloide circular invertido de vértice em
(0,0,16),
pois em (x,y)=(0,0) temos z=16, e conforme x^2+y^2 aumenta, z decresce até tornar-se zero quando x^2+y^2=16. Cada plano horizontal z=c corta a superfície em um círculo de raio raiz16-c. O “chapéu” do paraboloide abre para baixo.

Resposta

Curvas de nível: círculos centrados em (0,0) dados por
x^2+y^2=16-c, c<=16,
com raios r=raiz16-c.
Gráfico em 3D: paraboloide circular invertido de vértice em (0,0,16), aberto para baixo, cujas interseções com planos z=c são os círculos acima.

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