Calcule a integral definida.
integral1^2 5 x^2-3 x+189 x-x^3 d x

Passo 1

Estamos calculando a integral definida
integral1^2 5x^2 - 3x + 189x - x^3,dx
Este é um caso de integração de função racional; vamos usar decomposição em frações parciais para integrá-la.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e escrevemos a decomposição:
9x - x^3 = x(9 - x^2) = x(3 - x)(3 + x),
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5x^2 - 3x + 18x(3 - x)(3 + x) = Ax + B3 - x + C3 + x

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x(3 - x)(3 + x) e igualamos coeficientes:
5x^2 - 3x + 18 = A(9 - x^2) + B,x(3 + x) + C,x(3 - x)
Isso gera o sistema
9A = 18, - A + B - C = 5, 3B + 3C = -3 Daí obtemos A=2, B=3 e C=-4.

Passo 4

Substituindo em frações parciais, a integral vira
integrall(2x + 33 - x - 43 + xr)dx
As antiderivadas são:
2ln|x| - 3ln|3 - x| - 4ln|3 + x| + C

Passo 5

Agora avaliamos de 1 a 2:
F(2) = 2ln 2 - 3ln(1) - 4ln 5 = 2ln 2 - 4ln 5,
F(1) = 2ln 1 - 3ln 2 - 4ln 4 = -3ln 2 - 4(2ln 2) = -11ln 2
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integral1^2 = F(2) - F(1) = (2ln 2 - 4ln 5) - (-11ln 2) = 13ln 2 - 4ln 5

Resposta

13\ln 2 - 4\ln 5

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