Faça o que se pede:
Seja
. Mostre que se
for divisível por 3 , então
também será divisível por 3
Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um inteiro
, se
divide
então
também divide
. Estamos em um contexto de divisibilidade e aritmética modular, e vamos usar a ideia de prova por contrarrecíproco e análise de restos na divisão por 3.
Passo 2
Em vez de provar diretamente "se
então
", é mais simples provar o contrarrecíproco: "se
então
". Como uma implicação e seu contrarrecíproco são logicamente equivalentes, isso resolve o problema.
Passo 3
Se
, ao dividir
por 3 o resto só pode ser 1 ou 2. Ou seja, existem dois casos:
- Caso 1:
. - Caso 2:
.
Passo 4
No caso 1, temos
logo
Passo 5
No caso 2, temos
novamente
Passo 6
Em ambos os casos do contrarrecíproco vimos que se
então
. Portanto o contrarrecíproco é verdadeiro e implica a afirmação original.
Passo 7
Assim concluímos que, sempre que
, é obrigatório que
.
Resposta
Se
é divisível por 3, então
também é divisível por 3.