Faça o que se pede:
Seja a in Z. Mostre que se a^2 for divisível por 3 , então a também será divisível por 3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um inteiro a, se 3 divide a^2 então 3 também divide a. Estamos em um contexto de divisibilidade e aritmética modular, e vamos usar a ideia de prova por contrarrecíproco e análise de restos na divisão por 3.

Passo 2

Em vez de provar diretamente "se 3mid a^2 então 3mid a", é mais simples provar o contrarrecíproco: "se 3nmid a então 3nmid a^2". Como uma implicação e seu contrarrecíproco são logicamente equivalentes, isso resolve o problema.

Passo 3

Se 3nmid a, ao dividir a por 3 o resto só pode ser 1 ou 2. Ou seja, existem dois casos:
  • Caso 1: aequiv 1pmod3.
  • Caso 2: aequiv 2pmod3.

Passo 4

No caso 1, temos
a^2equiv 1^2equiv 1pmod3,
logo a^2 deixa resto 1 na divisão por 3, ou seja, 3nmid a^2.

Passo 5

No caso 2, temos
a^2equiv 2^2equiv 4equiv 1pmod3,
novamente a^2 deixa resto 1, então 3nmid a^2.

Passo 6

Em ambos os casos do contrarrecíproco vimos que se 3nmid a então 3nmid a^2. Portanto o contrarrecíproco é verdadeiro e implica a afirmação original.

Passo 7

Assim concluímos que, sempre que 3mid a^2, é obrigatório que 3mid a.

Resposta

Se a^2 é divisível por 3, então a também é divisível por 3.

Exercícios relacionados