Faça o que se pede:
Mostre que se a, m e n são inteiros positivos, então mdc(a, m)=mdc(a, n)=1 Rightarrow mdc(a, mn)=1

Passo 1

A questão envolve o conceito de máximo divisor comum (mdc). Temos inteiros positivos a, m e n com as condições mdc(a,m)=1 e mdc(a,n)=1. Queremos provar que mdc(a,mn)=1. Para isso, vamos usar a definição de mdc e a propriedade de primos em produtos.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista um primo p tal que p divide simultaneamente a e mn. Pelas propriedades de primos, se p divide o produto mn, então p divide m ou p divide n.

Passo 3

Mas isso contradiz as hipóteses: se p divides a e m, então mdc(a,m)>= p>1, o que contraria mdc(a,m)=1. De modo análogo, não pode p dividir n. Portanto não existe primo comum a a e mn.

Passo 4

Como não há qualquer primo dividindo ao mesmo tempo a e mn), o único divisor comum possível é 1. Assim concluímos que mdc(a,mn)=1.

Resposta

mdc(a,mn)=1

Exercícios relacionados