Faça o que se pede:
Mostre que se a,
e n são inteiros positivos, então
Mostre que se a,
Passo 1
A questão envolve o conceito de máximo divisor comum (mdc). Temos inteiros positivos a, m e n com as condições
e
. Queremos provar que
. Para isso, vamos usar a definição de mdc e a propriedade de primos em produtos.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista um primo
tal que
divide simultaneamente
e
. Pelas propriedades de primos, se
divide o produto
, então
divide
ou
divide
.
Passo 3
Mas isso contradiz as hipóteses: se
divides
e
, então
, o que contraria
. De modo análogo, não pode
dividir
. Portanto não existe primo comum a
e
.
Passo 4
Como não há qualquer primo dividindo ao mesmo tempo
e
, o único divisor comum possível é 1. Assim concluímos que
.