Calcule a integral dupla da função f(x, y)=1 na região B, sendo B a região delimitada pelas retas y=x, y=0 e pelos círculos x^{2}+y^{2}=2 x e x^{2}+y^{2}=4 x.
Resposta:
Resposta
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla da função f(x,y)=1 sobre a região B delimitada por:
as retas y=0 e y=x;
os círculos x^{2}+y^{2}=2x e x^{2}+y^{2}=4x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função a integrar é constante igual a 1. Portanto a integral dupla representa a área da região B.
As curvas x^{2}+y^{2}=2x e x^{2}+y^{2}=4x são círculos (isso pode ser visto completando quadrados).
As retas que cortam a região são o eixo x ( y=0 ) e a bissetriz y=x.
O que se pede: calcular a área da região B, ou seja
\iint_{B} 1\,dA.
Passo 2
Escolha do método: é natural usar coordenadas polares. Justificativa curta e didática:
As equações x^{2}+y^{2}=2x e x^{2}+y^{2}=4x ficam muito simples em polares, porque x^{2}+y^{2}=r^{2} e x=r\cos\theta.
As retas que limitam a região correspondem a ângulos fixos em polares: y=0 é \theta=0 e y=x é \theta=\pi/4.
Além disso, em coordenadas polares o elemento de área é simples: dA=r\,dr\,d\theta. Vou explicar isso com calma na próxima etapa para garantir que fique claro.
Breve lembrete do que são coordenadas polares:
x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
O jacobiano (fator de mudança de variável) é r, ou seja, dA = r\,dr\,d\theta. Isso ocorre porque pequenos retângulos em (r,\theta) têm área aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta.
Passo 3
Transformar as curvas para coordenadas polares e encontrar os limites em r e \theta.
Transformação das circunferências:
Para x^{2}+y^{2}=2x substituindo x=r\cos\theta e x^{2}+y^{2}=r^{2} obtém-se
r^{2}=2r\cos\theta.
Soluções: r=0 (origem) ou
r=2\cos\theta.
Para x^{2}+y^{2}=4x de forma análoga:
r^{2}=4r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r=0 \text{ ou } r=4\cos\theta.
Observação sobre sinais: nas direções onde \cos\theta>0 estas formas r=2\cos\theta e r=4\cos\theta dão r>0, o que é consistente com a região visível entre os círculos à direita do eixo y.
Transformação das retas:
y=0 corresponde a \theta=0 (ou \theta=\pi, mas aqui usamos o setor no primeiro quadrante).
y=x corresponde a \theta=\pi/4.
Assim o ângulo \theta que descreve a região vai de