Calcule a integral dupla da função f(x, y)=1 na região B, sendo B a região delimitada pelas retas y=x, y=0 e pelos círculos x^{2}+y^{2}=2 x e x^{2}+y^{2}=4 x.
Resposta:
Resposta

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla da função f(x,y)=1 sobre a região B delimitada por:
  • as retas y=0 e y=x;
  • os círculos x^{2}+y^{2}=2x e x^{2}+y^{2}=4x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é constante igual a 1. Portanto a integral dupla representa a área da região B.
  • As curvas x^{2}+y^{2}=2x e x^{2}+y^{2}=4x são círculos (isso pode ser visto completando quadrados).
  • As retas que cortam a região são o eixo x ( y=0 ) e a bissetriz y=x.
O que se pede: calcular a área da região B, ou seja
\iint_{B} 1\,dA.

Passo 2

Escolha do método: é natural usar coordenadas polares. Justificativa curta e didática:
  • As equações x^{2}+y^{2}=2x e x^{2}+y^{2}=4x ficam muito simples em polares, porque x^{2}+y^{2}=r^{2} e x=r\cos\theta.
  • As retas que limitam a região correspondem a ângulos fixos em polares: y=0 é \theta=0 e y=x é \theta=\pi/4.
  • Além disso, em coordenadas polares o elemento de área é simples: dA=r\,dr\,d\theta. Vou explicar isso com calma na próxima etapa para garantir que fique claro.
Breve lembrete do que são coordenadas polares:
  • x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
  • O jacobiano (fator de mudança de variável) é r, ou seja, dA = r\,dr\,d\theta. Isso ocorre porque pequenos retângulos em (r,\theta) têm área aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta.

Passo 3

Transformar as curvas para coordenadas polares e encontrar os limites em r e \theta.
Transformação das circunferências:
  • Para x^{2}+y^{2}=2x substituindo x=r\cos\theta e x^{2}+y^{2}=r^{2} obtém-se
r^{2}=2r\cos\theta.
Soluções: r=0 (origem) ou
r=2\cos\theta.
  • Para x^{2}+y^{2}=4x de forma análoga:
r^{2}=4r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r=0 \text{ ou } r=4\cos\theta.
Observação sobre sinais: nas direções onde \cos\theta>0 estas formas r=2\cos\theta e r=4\cos\theta dão r>0, o que é consistente com a região visível entre os círculos à direita do eixo y.
Transformação das retas:
  • y=0 corresponde a \theta=0 (ou \theta=\pi, mas aqui usamos o setor no primeiro quadrante).
  • y=x corresponde a \theta=\pi/4.
Assim o ângulo \theta que descreve a região vai de
\theta=0 \quad\text{até}\quad \theta=\frac{\pi}{4}.é
Para cada \theta desse intervalo, o raio r varia entre a circunferência interna r=2\cos\theta e a externa r=4\cos\theta. Portanto os limites em r são
2\cos\theta \le r \le 4\cos\theta,
para \theta\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right].

Passo 4

Escrever a integral dupla em coordenadas polares.
Como f(x,y)=1 e dA=r\,dr\,d\theta, a integral da área é
\iint_{B} 1\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=2\cos\theta}^{4\cos\theta} r\,dr\,d\theta.
Aqui explico passo a passo o integrando:
  • O 1 vem da função f.
  • O fator r aparece porque ao trocar (x,y) por (r,\theta) o elemento de área é r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r.
Integrando em r:
\int_{r=2\cos\theta}^{4\cos\theta} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{r=2\cos\theta}^{r=4\cos\theta} = \frac{(4\cos\theta)^{2}}{2} - \frac{(2\cos\theta)^{2}}{2}.
Calcule cada termo:
\frac{(4\cos\theta)^{2}}{2} = \frac{16\cos^{2}\theta}{2}=8\cos^{2}\theta,
\frac{(2\cos\theta)^{2}}{2} = \frac{4\cos^{2}\theta}{2}=2\cos^{2}\theta.
Então a diferença é
8\cos^{2}\theta - 2\cos^{2}\theta = 6\cos^{2}\theta.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{\pi/4} 6\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 6

Integrar em \theta usando identidade trigonométrica.
Usar a identidade para \cos^{2}\theta:
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Substituindo,
6\cos^{2}\theta = 6\cdot\frac{1+\cos(2\theta)}{2} = 3\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr).
Então
\int_{0}^{\pi/4} 6\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/4} 3\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta.
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{\pi/4} 3\,d\theta = 3\theta\Big|_{0}^{\pi/4} = 3\cdot\frac{\pi}{4},
\int_{0}^{\pi/4} 3\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{3}{2}\sin(2\theta)\Big|_{0}^{\pi/4}
porque a primitiva de \cos(2\theta) é \tfrac{1}{2}\sin(2\theta). Avaliando os limites:
\sin\bigl(2\cdot\frac{\pi}{4}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,\qquad \sin(0)=0,
portanto
\int_{0}^{\pi/4} 3\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{3}{2}\cdot(1-0)=\frac{3}{2}.
Soma dos termos:
3\cdot\frac{\pi}{4} + \frac{3}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{3}{2}.

Passo 7

Simplificar e apresentar o resultado final de forma compacta.
Fatorando 3/4 por exemplo,
\frac{3\pi}{4} + \frac{3}{2} = \frac{3}{4}\bigl(\pi + 2\bigr).
Portanto a integral dupla (a área da região B) é \dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{3}{2}, ou alternativamente \dfrac{3}{4}(\pi+2).

Resposta

\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{3}{2}

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