Exercício 133. Use o teorema de Green para calcule
, onde
e
é a fronteira da região limitada por
e
orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha ao longo da curva fechada
e o campo vetorial
. Especificamente:
- O campo vetorial é
. - A curva
é a fronteira, orientada positivamente, da região limitada pelas curvas e .
O que o enunciado pede:
- Calcular
.
Observação importante (ambiguidade no enunciado):
- Há um
em na primeira componente. Vou assumir que foi um erro de digitação e que se pretendia . Ou seja, assumo
Se essa hipótese estiver errada, o resultado muda; prosseguirei com essa interpretação porque faz sentido com a segunda componente.
Passo 2
Apresentação da ferramenta que vamos usar (teorema de Green) e verificação de hipóteses.
Teorema de Green (forma usada aqui): se
é a fronteira positivamente orientada de uma região
plana simples e
têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança de
, então
Explicando de leve:
é a primeira componente do campo (multiplicando
) e
é a segunda (multiplicando
). O integrando da dupla integral é a diferença das derivadas parciais indicadas; isso transforma um integral de contorno numa integral de área — muitas vezes simplifica muito.
Verificação das hipóteses no nosso caso:
-
tem problema potencial em . Mas a região dada tem entre (que é ) e . Logo em temos , então não passamos por e são diferenciáveis e contínuos em uma vizinhança de . Logo podemos aplicar o teorema.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais
e
passo a passo.
Escrevendo:
Cálculo de
:
- A derivada de
em relação a é , porque é constante quanto a e . - A derivada de
em relação a é .
Portanto
Cálculo de
:
-
. Diferenciando em relação a mantém como constante e dá .
Portanto
Agora a diferença que aparece no teorema:
Ótimo: o integrando é a constante
, o que simplifica bastante.
Passo 4
Transformar a integral de linha numa integral dupla e calcular.
Pelo teorema de Green:
Vamos calcular a área da região
limitada por
e
.
Para cada
fixo,
varia de
até
. Precisamos dos limites em
: são os pontos onde as curvas se cruzam, ou seja, solução de
Logo
vai de
a
.
A área é
Calculemos a integral:
- Uma antiderivada de
é . - Uma antiderivada de
é .
Portanto
Avaliação nos limites:
Logo
.
Agora voltamos à integral original:
Passo 5
Resumo e interpretação final (rápido incentivo):
- A grande sacada foi ver que a diferença das derivadas parciais ficou constante
, então a integral de contorno virou simplesmente vezes a área da região. - Calcule a área fazendo a integral em
porque as curvas estão dadas como . Isso evita parametrizações complicadas.
Boa! Erro de digitação resolvido com a suposição natural; se realmente a primeira componente não for, me avise que refaço o cálculo.