Exercício 133. Use o teorema de Green para calcule \oint_{C} F d r, onde F(x, y)=\left(\frac{e^{\mathrm{v}}}{x}, e^{y} \ln (x)+2 x\right) e C é a fronteira da região limitada por x=y^{4}+1 e x=2 orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha ao longo da curva fechada C e o campo vetorial F. Especificamente:
  • O campo vetorial é F(x,y)=\left(\dfrac{e^{\mathrm{v}}}{x},\, e^{y}\ln(x)+2x\right).
  • A curva C é a fronteira, orientada positivamente, da região limitada pelas curvas x=y^{4}+1 e x=2.
O que o enunciado pede:
  • Calcular \displaystyle \oint_{C} F\cdot dr.
Observação importante (ambiguidade no enunciado):
  • Há um "\mathrm{v}" em e^{\mathrm{v}} na primeira componente. Vou assumir que foi um erro de digitação e que se pretendia e^{y}. Ou seja, assumo
P(x,y)=\frac{e^{y}}{x},\qquad Q(x,y)=e^{y}\ln(x)+2x.
Se essa hipótese estiver errada, o resultado muda; prosseguirei com essa interpretação porque faz sentido com a segunda componente.

Passo 2

Apresentação da ferramenta que vamos usar (teorema de Green) e verificação de hipóteses.
Teorema de Green (forma usada aqui): se C é a fronteira positivamente orientada de uma região D plana simples e P,Q têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança de D, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy \;=\; \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.
Explicando de leve: P é a primeira componente do campo (multiplicando dx) e Q é a segunda (multiplicando dy). O integrando da dupla integral é a diferença das derivadas parciais indicadas; isso transforma um integral de contorno numa integral de área — muitas vezes simplifica muito.
Verificação das hipóteses no nosso caso:
  • P(x,y)=\dfrac{e^{y}}{x} tem problema potencial em x=0. Mas a região dada tem x entre x=y^{4}+1 (que é \ge 1) e x=2. Logo em D temos x\ge 1, então não passamos por x=0 e P,Q são diferenciáveis e contínuos em uma vizinhança de D. Logo podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y} passo a passo.
Escrevendo:
P(x,y)=\frac{e^{y}}{x},\qquad Q(x,y)=e^{y}\ln(x)+2x.
Cálculo de \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
  • A derivada de e^{y}\ln(x) em relação a x é e^{y}\cdot\dfrac{1}{x}, porque e^{y} é constante quanto a x e \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}.
  • A derivada de 2x em relação a x é 2.
    Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{e^{y}}{x}+2.
Cálculo de \dfrac{\partial P}{\partial y}:
  • P(x,y)=\dfrac{e^{y}}{x}. Diferenciando em relação a y mantém 1/x como constante e dá \dfrac{e^{y}}{x}.
    Portanto
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{e^{y}}{x}.
Agora a diferença que aparece no teorema:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\left(\frac{e^{y}}{x}+2\right)-\frac{e^{y}}{x}=2.
Ótimo: o integrando é a constante 2, o que simplifica bastante.

Passo 4

Transformar a integral de linha numa integral dupla e calcular.
Pelo teorema de Green:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy \;=\; \iint_{D} 2\,dA \;=\; 2\cdot \text{Area}(D).
Vamos calcular a área da região D limitada por x=y^{4}+1 e x=2.
Para cada y fixo, x varia de x=y^{4}+1 até x=2. Precisamos dos limites em y: são os pontos onde as curvas se cruzam, ou seja, solução de
y^{4}+1=2 \quad\Rightarrow\quad y^{4}=1 \quad\Rightarrow\quad y=\pm 1.
Logo y vai de -1 a 1.
A área é
\text{Area}(D)=\int_{y=-1}^{1}\bigl(2-(y^{4}+1)\bigr)\,dy =\int_{-1}^{1}\bigl(1-y^{4}\bigr)\,dy.
Calculemos a integral:
  • Uma antiderivada de 1 é y.
  • Uma antiderivada de y^{4} é \dfrac{y^{5}}{5}.
Portanto
\int_{-1}^{1}\bigl(1-y^{4}\bigr)\,dy=\left[y-\frac{y^{5}}{5}\right]_{-1}^{1}.
Avaliação nos limites:
\left(1-\frac{1^{5}}{5}\right)-\left(-1-\frac{(-1)^{5}}{5}\right) =\left(1-\frac{1}{5}\right)-\left(-1+\frac{1}{5}\right) =\frac{4}{5}-\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{8}{5}.
Logo \text{Area}(D)=\dfrac{8}{5}.
Agora voltamos à integral original:
\oint_{C} F\cdot dr \;=\; 2\cdot \frac{8}{5}=\frac{16}{5}.

Passo 5

Resumo e interpretação final (rápido incentivo):
  • A grande sacada foi ver que a diferença das derivadas parciais ficou constante 2, então a integral de contorno virou simplesmente 2 vezes a área da região.
  • Calcule a área fazendo a integral em y porque as curvas estão dadas como x=\text{função de }yçã. Isso evita parametrizações complicadas.
    Boa! Erro de digitação resolvido com a suposição natural; se realmente a primeira componente não for e^{y}/x, me avise que refaço o cálculo.

Resposta

\dfrac{16}{5}

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