Calcule a área da região delimitada pelas curvas y=x^{2} e x=y^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas y=x^{2} e x=y^{2}.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Uma curva é a parábola y=x^{2}.
  • A outra curva é a função explicita em x: x=y^{2}, que pode ser vista como y=\pm\sqrt{x} quando útil.
  • A região solicitada é a parte do plano onde essas duas curvas se intersectam e delimitam uma área fechada.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção das duas curvas (esses pontos vão dar os limites de integração). Para isso igualamos as expressões para y:
y = x^{2} \qquad\text{e}\qquad x = y^{2}.
Substituindo y=x^{2} em x=y^{2} obtemos
x = (x^{2})^{2} = x^{4}.
Rearranjando:
x^{4} - x = 0 \quad\Rightarrow\quad x(x^{3}-1)=0.
As soluções reais são x=0 e x=1. Os correspondentes y valem y=x^{2}, logo os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Entender qual curva fica “acima” da outra para x entre 0 e 1 (isso diz qual função subtrair de qual no integrando).
Reescrevendo x=y^{2} como y=\pm\sqrt{x}, vemos que a parte relevante da curva para a região positiva é y=\sqrt{x}. Para um ponto teste, escolha x=\tfrac{1}{4}:
y_{\text{da curva }y=\sqrt{x}}=\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}, \qquad y_{\text{da curva }y=x^{2}}=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\tfrac{1}{16}.
Como \tfrac{1}{2}>\tfrac{1}{16}, no intervalo 0<x<1 a curva y=\sqrt{x} está acima de y=x^{2}. Portanto a área entre elas para x\in[0,1] é dada por integrar a diferença y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}}=\sqrt{x}-x^{2}.

Passo 4

Escrever a integral que calcula a área. Fórmula geral: se duas curvas são y=f(x) (topo) e y=g(x) (fundo) em [a,b], a área entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.Á
Aqui a=0, b=1, f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} e g(x)=x^{2}. Logo
\text{Área}=\int_{0}^{1}\big(x^{1/2}-x^{2}\big)\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral passo a passo usando a regra de potência para antiderivadas: para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aplicando isso termo a termo:
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}, \qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Portanto, avaliando de 0 a 1:
\text{Área}=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1} =\left(\frac{2}{3}\cdot1-\frac{1}{3}\cdot1\right)-\left(0-0\right) =\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.Á

Passo 6

Checagem alternativa (opcional, útil para treinar): integrar em função de y. Isolar x em cada curva:
\text{da }y=x^{2}\Rightarrow x=\sqrt{y}, \qquad \text{da }x=y^{2}\Rightarrow x=y^{2}.
Para y\in[0,1], a curva à direita é x=\sqrt{y} e à esquerda é x=y^{2}. A área também é
\int_{0}^{1}\big(\sqrt{y}-y^{2}\big)\,dy,
que conduz aos mesmos cálculos e ao mesmo resultado \tfrac{1}{3}. Isso confirma consistência.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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