Calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Uma curva é a parábola
. - A outra curva é a função explicita em
: , que pode ser vista como quando útil. - A região solicitada é a parte do plano onde essas duas curvas se intersectam e delimitam uma área fechada.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção das duas curvas (esses pontos vão dar os limites de integração). Para isso igualamos as expressões para
:
Substituindo
em
obtemos
Rearranjando:
As soluções reais são
e
. Os correspondentes
valem
, logo os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Entender qual curva fica “acima” da outra para
entre
e
(isso diz qual função subtrair de qual no integrando).
Reescrevendo
como
, vemos que a parte relevante da curva para a região positiva é
. Para um ponto teste, escolha
:
Como
, no intervalo
a curva
está acima de
. Portanto a área entre elas para
é dada por integrar a diferença
.
Passo 4
Escrever a integral que calcula a área. Fórmula geral: se duas curvas são
(topo) e
(fundo) em
, a área entre elas é
Aqui
,
,
e
. Logo
Passo 5
Calcular a integral passo a passo usando a regra de potência para antiderivadas: para
,
Aplicando isso termo a termo:
Portanto, avaliando de
a
:
Passo 6
Checagem alternativa (opcional, útil para treinar): integrar em função de
. Isolar
em cada curva:
Para
, a curva à direita é
e à esquerda é
. A área também é
que conduz aos mesmos cálculos e ao mesmo resultado
. Isso confirma consistência.