Questão 2 (2,0 pontos)
Considere f(x)=x-raiz2 sen x, para x in[0,2 pi].
Estabeleça a veracidade (V) ou falsidade (F) de cada afirmação, justificando suas respostas.
a) ( ) f possui um máximo relativo em x=5 pi6.
b) ( ) f possui um máximo absoluto em x=7 pi4.
c) ( ) O gráfico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo ( 0, pi ).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre a função
f(x)=x-raiz2,sen x, xin[0,2pi],
é verdadeira ou falsa. Para isso vamos usar o primeiro derivado para estudar máximos e mínimos e o segundo derivado para estudar concavidade.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=ddxl(xr)-raiz2,ddxl(sen xr) =1-raiz2cos x
Igualando a zero,
1-raiz2cos x=0 Longrightarrow cos x=1raiz2 Longrightarrow x=pi4,;7pi4(em [0,2pi])
Analisando o sinal de f':
  • Para 0<x<pi/4, cos x>1/raiz2 então f'(x)<0.
  • Para pi/4<x<7pi/4, cos x<1/raiz2 então f'(x)>0.
  • Para 7pi/4<x<2pi, cos x>1/raiz2 então f'(x)<0.

Passo 3

a) Em x=5pi/6 temos pi/4<5pi/6<7pi/4, logo f' é positiva tanto à esquerda quanto à direita de 5pi/6. Não há troca de sinal, então não é ponto de máximo relativo.
Conclusão: a) é Falsa.

Passo 4

b) Em x=7pi/4 a derivada muda de positiva (para a esquerda) para negativa (para a direita), caracterizando um máximo local.
Agora comparamos valores em x=0, x=7pi/4 e x=2pi:
f(0)=0, fl(tfrac7pi4r)=7pi4-raiz2,sen!l(tfrac7pi4r) =7pi4+1, f(2pi)=2pi
Como tfrac7pi4+1>2pi, o maior valor ocorre em x=7pi/4. Portanto b) é Verdadeira.

Passo 5

c) O segundo derivado é
f''(x)=ddxl(1-raiz2cos xr) =raiz2,sen x
No intervalo (0,pi) temos sen x>0, logo f''(x)>0: o gráfico é côncavo para cima em (0,pi).
Conclusão: c) é Verdadeira.

Resposta

a) F
b) V
c) V

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