Questão 2 (2,0 pontos)
Considere
, para
.
Estabeleça a veracidade (V) ou falsidade (F) de cada afirmação, justificando suas respostas.
a) ( )
possui um máximo relativo em
.
b) ( )
possui um máximo absoluto em
.
c) ( ) O gráfico de
tem concavidade voltada para cima no intervalo (
).
Considere
a) ( )
b) ( )
c) ( ) O gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre a função
é verdadeira ou falsa. Para isso vamos usar o primeiro derivado para estudar máximos e mínimos e o segundo derivado para estudar concavidade.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada:
Igualando a zero,
Analisando o sinal de
:
- Para
, então . - Para
, então . - Para
, então .
Passo 3
a) Em
temos
, logo
é positiva tanto à esquerda quanto à direita de
. Não há troca de sinal, então não é ponto de máximo relativo.
Conclusão: a) é Falsa.
Conclusão: a) é Falsa.
Passo 4
b) Em
a derivada muda de positiva (para a esquerda) para negativa (para a direita), caracterizando um máximo local.
Agora comparamos valores em ,
e
:
Agora comparamos valores em
Como
, o maior valor ocorre em
. Portanto b) é Verdadeira.
Passo 5
c) O segundo derivado é
No intervalo
temos
, logo
: o gráfico é côncavo para cima em
.
Conclusão: c) é Verdadeira.
Conclusão: c) é Verdadeira.
Resposta
a) F
b) V
c) V
b) V
c) V