Calcule a integral dupla das funções na regiões indicadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
na região
Informações e o que é pedido:
- A função dada é
. - A região
está definida por e . Note que não foi dado um limite inferior para ; assim para cada fixo o conjunto de é . Ou seja, a região é semi-infinita em para baixo. - O objetivo é calcular (ou determinar se existe/ converge) a integral dupla
onde
é a área usual (por exemplo
num integral iterado).
- Observação importante (extraída dos dados): para
existe o valor de que anula o denominador, porque implica , e esse satisfaz . Portanto a função tem uma singularidade vertical em dentro do intervalo de integração em para todo da faixa dada.
Passo 2
Estratégia de resolução (sem ainda calcular): tratar a integral dupla como uma integral iterada em
primeiro e depois em
. Ou seja, tentar escrever
contanto que a integral iterada faça sentido (as integrais internas sejam definidas como integrais impróprias convergentes). Portanto o primeiro passo efetivo é estudar, para um
fixo com
, a integral imprópria
ver se ela converge ou diverge. Se
divergir para qualquer
em
, a integral dupla não pode ser calculada como um número finito via essa ordem de integração. Vou então analisar
detalhadamente.
Passo 3
Lembrete (mini-aula sobre integrais impróprias e substituição): quando a integral em
tem um limite infinito ou a função tem singularidade (denominador zero) no intervalo, trata-se de integral imprópria. Para avaliá-la, divide-se o intervalo em porções onde a função é contínua e toma-se limites. A substituição
é útil porque simplifica o denominador: se
então
e
. Aplicando essa substituição numa integral indefinida:
Isso mostra que a primitiva em
é
. Agora usar essa primitiva atendendo à natureza imprópria do intervalo.
Passo 4
Análise da singularidade e divisão do intervalo: para
existe o ponto
em que
. Esse ponto está estritamente dentro do intervalo
porque
. Assim a integral
atravessa uma singularidade em
e deve ser escrita como soma de duas integrais impróprias:
cada uma entendida como limite. Vou mostrar que pelo menos uma dessas partes diverge (na verdade ambas divergem), o que garante que
não é finito.
Passo 5
Cálculo dos limites (mostrando divergência): usar a primitiva
para cada parte.
Para a primeira parte, defina um limite inferior
:
Mas
, logo o termo
não é finito; ao aproximarmos
por valores menores que
a quantidade
tende a
, e
. Assim
ou seja, a integral sobre
diverge para
.
Para a segunda parte, faça o limite por cima da singularidade: tome
e considere
Usando a primitiva,
Aqui
e
. Assim
Ao fazer
temos
. Portanto
ou seja, a integral sobre
diverge para
.
Passo 6
Conclusão sobre
: para cada
a integral
é soma de uma parte que diverge para
e de outra que diverge para
. Em termos de análise de integrais impróprias isso significa que a integral não converge (não existe um número finito definido). Mesmo que as duas partes “tendessem” a valores divergentes de sinais opostos, não se pode atribuir um valor finito à soma sem uma avaliação de valor principal; portanto a integral própria não converge.
Passo 7
Conclusão final para a integral dupla: como para cada
fixo em
a integral interna
não é um número finito, a integral iterada
não está bem definida (não converge). Pelo mesmo motivo não existe valor finito para a integral dupla
. Portanto a integral dupla diverge (não converge).