Calcule a integral dupla das funções na regiões indicadas:
f(x, y)=\frac{x}{1+x y}
D=\left\{(x, y) ; 1 \leq x \leq 2, y \leq \frac{1}{x}\right\} ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função f(x,y)=\dfrac{x}{1+xy} na região
D=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\; y\le \tfrac{1}{x}\}.
Informações e o que é pedido:
  • A função dada é f(x,y)=\dfrac{x}{1+xy}.
  • A região D está definida por 1\le x\le 2 e y\le \tfrac{1}{x}. Note que não foi dado um limite inferior para y; assim para cada x fixo o conjunto de y é (-\infty,\tfrac{1}{x}]. Ou seja, a região é semi-infinita em y para baixo.
  • O objetivo é calcular (ou determinar se existe/ converge) a integral dupla
\iint_{D} \frac{x}{1+xy}\,dA,
onde dA é a área usual (por exemplo dA=dy\,dx num integral iterado).
  • Observação importante (extraída dos dados): para x\in[1,2] existe o valor de y que anula o denominador, porque 1+xy=0 implica y=-\tfrac{1}{x}, e esse y satisfaz y\le\tfrac{1}{x}. Portanto a função tem uma singularidade vertical em y=-\tfrac{1}{x} dentro do intervalo de integração em y para todo x da faixa dada.

Passo 2

Estratégia de resolução (sem ainda calcular): tratar a integral dupla como uma integral iterada em y primeiro e depois em x. Ou seja, tentar escrever
\iint_{D}\frac{x}{1+xy}\,dA=\int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=-\infty}^{1/x}\frac{x}{1+xy}\,dy\right)dx,
contanto que a integral iterada faça sentido (as integrais internas sejam definidas como integrais impróprias convergentes). Portanto o primeiro passo efetivo é estudar, para um x fixo com 1\le x\le 2, a integral imprópria
I(x):=\int_{-\infty}^{1/x}\frac{x}{1+xy}\,dy,
ver se ela converge ou diverge. Se I(x) divergir para qualquer x em [1,2], a integral dupla não pode ser calculada como um número finito via essa ordem de integração. Vou então analisar I(x) detalhadamente.

Passo 3

Lembrete (mini-aula sobre integrais impróprias e substituição): quando a integral em y tem um limite infinito ou a função tem singularidade (denominador zero) no intervalo, trata-se de integral imprópria. Para avaliá-la, divide-se o intervalo em porções onde a função é contínua e toma-se limites. A substituição u=1+xy é útil porque simplifica o denominador: se u=1+xy então du=x\,dy e dy=\dfrac{du}{x}. Aplicando essa substituição numa integral indefinida:
\int \frac{x}{1+xy}\,dy=\int \frac{x}{u}\cdot\frac{du}{x}=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|1+xy|+C.
Isso mostra que a primitiva em y é \ln|1+xy|. Agora usar essa primitiva atendendo à natureza imprópria do intervalo.

Passo 4

Análise da singularidade e divisão do intervalo: para x\in[1,2] existe o ponto y_0=-\dfrac{1}{x} em que 1+xy_0=0. Esse ponto está estritamente dentro do intervalo (-\infty,\tfrac{1}{x}] porque -\tfrac{1}{x}<\tfrac{1}{x}. Assim a integral I(x)=\int_{-\infty}^{1/x}\dfrac{x}{1+xy}\,dy atravessa uma singularidade em y=-\tfrac{1}{x} e deve ser escrita como soma de duas integrais impróprias:
I(x)=\int_{-\infty}^{-1/x}\frac{x}{1+xy}\,dy+\int_{-1/x}^{1/x}\frac{x}{1+xy}\,dy,
cada uma entendida como limite. Vou mostrar que pelo menos uma dessas partes diverge (na verdade ambas divergem), o que garante que I(x) não é finito.

Passo 5

Cálculo dos limites (mostrando divergência): usar a primitiva \ln|1+xy| para cada parte.
Para a primeira parte, defina um limite inferior A\to -\infty:
\int_{A}^{-1/x}\frac{x}{1+xy}\,dy=\left.\ln|1+xy|\right|_{y=A}^{y=-1/x}=\ln|1+x(-1/x)|-\ln|1+xA|.
Mas 1+x(-1/x)=0, logo o termo \ln|1+x(-1/x)|=\ln 0 não é finito; ao aproximarmos y por valores menores que -1/x a quantidade |1+xy| tende a 0, e \ln|1+xy|\to -\infty. Assim
\lim_{A\to -\infty}\int_{A}^{-1/x}\frac{x}{1+xy}\,dy=-\infty,
ou seja, a integral sobre (-\infty,-1/x] diverge para -\infty.
Para a segunda parte, faça o limite por cima da singularidade: tome \varepsilon\to 0^+ e considere
\int_{-1/x}^{1/x}\frac{x}{1+xy}\,dy=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{-1/x+\varepsilon}^{1/x}\frac{x}{1+xy}\,dy.
Usando a primitiva,
\int_{-1/x+\varepsilon}^{1/x}\frac{x}{1+xy}\,dy=\left.\ln|1+xy|\right|_{y=-1/x+\varepsilon}^{y=1/x} =\ln|1+x(1/x)|-\ln|1+x(-1/x+\varepsilon)|.
Aqui 1+x(1/x)=2 e 1+x(-1/x+\varepsilon)=x\varepsilon. Assim
\int_{-1/x+\varepsilon}^{1/x}\frac{x}{1+xy}\,dy=\ln 2 - \ln(x\varepsilon)=\ln\frac{2}{x} -\ln\varepsilon.
Ao fazer \varepsilon\to 0^+ temos -\ln\varepsilon\to +\infty. Portanto
\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{-1/x+\varepsilon}^{1/x}\frac{x}{1+xy}\,dy=+\infty,
ou seja, a integral sobre (-1/x,1/x] diverge para +\infty.

Passo 6

Conclusão sobre I(x): para cada x\in[1,2] a integral I(x) é soma de uma parte que diverge para -\infty e de outra que diverge para +\infty. Em termos de análise de integrais impróprias isso significa que a integral não converge (não existe um número finito definido). Mesmo que as duas partes “tendessem” a valores divergentes de sinais opostos, não se pode atribuir um valor finito à soma sem uma avaliação de valor principal; portanto a integral própria não converge.

Passo 7

Conclusão final para a integral dupla: como para cada x fixo em [1,2] a integral interna I(x) não é um número finito, a integral iterada
\int_{1}^{2}\left(\int_{-\infty}^{1/x}\frac{x}{1+xy}\,dy\right)dx
não está bem definida (não converge). Pelo mesmo motivo não existe valor finito para a integral dupla \iint_{D}\dfrac{x}{1+xy}\,dA. Portanto a integral dupla diverge (não converge).

Resposta

\text{A integral dupla não converge (diverge).}ã

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