Calcule a integral dupla das funções na regiões indicadas: f(x, y)=x-y D=\{(x, y) ; 0 \leq x-y \leq 1,0 \leq y-2 x \leq 4\} ;
Passo 1
O enunciado dá a função e a região e pede a integral dupla sobre essa região. Vou listar claramente.
Função a integrar: f(x,y)=x-y.
Região D definida por duas desigualdades lineares:0 \leq x-y \leq 1, \qquad 0 \leq y-2x \leq 4.
Pedido: calcular a integral dupla\iint_{D} (x-y)\,dA.
Passo 2
Ideia de resolução (sem calcular ainda): as expressões que aparecem nas desigualdades são justamente combinações lineares de x e y. Isso sugere fazer a mudança de variáveis
u = x-y,\qquad v = y-2x,
pois então as desigualdades ficam simples (intervalos em u e v). Depois precisamos:
expressar x e y em função de u,v,
calcular o jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)},
transformar a integral para o retângulo em (u,v) e calcular.
Passo 3
Resolver o sistema linear para x,y\) em função de \(u,v\):
\[\begin{cases} u = x-y,\\[4pt] v = y-2x. \end{cases}
Da primeira equação (y = x - u]. Substituindo na segunda: v = (x-u)-2x = -x - u.
Logo -x - u = v \quad\Rightarrow\quad x = -u - v.
E então y = x - u = (-u - v) - u = -2u - v.
Portanto a transformação inversa é x = -u - v,\qquad y = -2u - v.]
Passo 4
Calcular o jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. Monta-se a matriz das derivadas parciais:
O fator de escala de área usado na mudança de variável é o valor absoluto do determinante, isto é \bigl|\det\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigr|=1. Comentário rápido e intuitivo: o jacobiano mede quanto uma pequena área em (u,v) é esticada (ou refletida) para a área correspondente em (x,y); aqui o módulo é 1, então não há ampliação de área (apenas reflexão, o sinal -1 indica mudança de orientação).]
Passo 5
Determinar os limites em (u,v) usando as desigualdades dadas (pegadas do enunciado):
0 \leq u \leq 1,\qquad 0 \leq v \leq 4.
Portanto a região D em (x,y) corresponde ao retângulo
R = \{(u,v)\mid 0\le u\le1,\;0\le v\le4\}
no plano (u,v).
Passo 6
Expressar a integranda em termos de u,v. Note que por definição u = x-y, então f(x,y)=x-y=u. Usando a mudança de variável a integral fica
Interpretação final e checagem rápida: a transformação linear escolhida simplificou a região para um retângulo e transformou a integranda para a variável u diretamente. O jacobiano com módulo 1 facilitou pois não há fator extra além de u. O cálculo está consistente e direto.