Calcule a integral dupla das funções na regiões indicadas:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral dupla da função sobre a região
. Mais precisamente:
- Função:
. - Região:
.
O que é pedido: calcular
Informações importantes dadas (extraídas diretamente do enunciado):
-
é não-negativo: . - Para cada
considerado, varia entre e . - Portanto implicitamente existe um limite superior para
dado por , isto é .
Passo 2
Escolha do método: aqui é natural tentar trocar a ordem de integração (integrar primeiro em
) porque a integranda tem a forma
— para integrar em
ela fica simples, já que
é constante em relação a
. Vou descrever a região para justificar a troca.
Descrição da região
:
- A condição
equivale a (lembrando que ). - Como
está limitado por e por , o conjunto de todos os possíveis vai de até . - Para um
fixo em , varia de até .
Logo a ordem troca-se sem problemas e o domínio em coordenadas
fica:
Passo 3
Reescrevendo a integral com a ordem
:
Explicação: para cada
fixo,
é uma constante quando integramos em
, então podemos tratá-la como coeficiente dentro da integral interna.
Passo 4
Cálculo da integral interna em
. Vamos calcular
Fazemos a substituição simples (mudança de variável dentro da integral em
):
- Definir
. Então , ou seja . - Quando
temos . - Quando
temos .
Substituindo:
Observe que as duas
(uma fora do seno e a outra vindo de
) se cancelam quando se faz
, deixando exatamente
.
Agora integramos
:
Portanto a integral interna é
.
Passo 5
Agora calculamos a integral externa em
:
Calcule cada termo:
Subtraindo: