Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas indicadas:
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e calcular os pontos de interseção que vamos usar (todos os cálculos de interseção abaixo são feitos a partir das curvas fornecidas).
Curvas dadas:
-
. -
. -
. -
.
O enunciado pede a área da(s) região(ões) limitada(s) por essas curvas.
Interseções relevantes (encontradas substituindo equações):
-
Interseção de
com : . -
Interseção de
com . Substituindo em :
logo o ponto
.
- Interseção de
com . Para encontrar pontos comuns, ponha na parábola:
Verifica-se que
é solução, e para
temos
. Assim há interseção no ponto
.
- Interseção de
com . Substituindo obtemos , portanto .
Conclusão das interseções usadas: os pontos
,
,
e
. Esses quatro pontos são vértices de uma região fechada cujo contorno segue, no sentido horário por exemplo: de
por
até
, depois por
até
, depois por
até
, e finalmente por
de
a
. Essa é a região cujo valor de área devemos calcular.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (fórmula usada):
- Como as fronteiras da região são dadas convenientemente por funções expressas como
ou podem ser escritas assim, é natural integrar em relação a . - Regra de área por fatias horizontais: se para cada
entre e a seção horizontal da região vai de até , então a área é
Aqui
é a curva mais à direita e
a mais à esquerda, para cada
no intervalo considerado.
Vamos decompor a região em duas faixas em
:
- Faixa 1:
. Nesta faixa a fronteira esquerda é e a fronteira direita é . - Faixa 2:
. Nesta faixa a fronteira direita continua sendo ; a fronteira esquerda é a rama direita da parábola. Da parábola obtemos
A rama direita é
(essa rama fica entre
e
para
), então
e
para
.
Portanto a área total é soma de duas integrais horizontais:
Passo 3
Cálculo da primeira integral (faixa
):
Montamos a integral:
Calculemos a primitiva termo a termo. Uma primitiva de
é
. Uma primitiva de
é
. Uma primitiva de
é
. Assim uma primitiva para todo o integrando é
Agora avaliaremos entre
e
:
Calcule o parêntese:
Então
Passo 4
Cálculo da segunda integral (faixa
):
Montamos a integral:
Integramos termo a termo:
Somando com sinal apropriado:
Calcule passo a passo:
Logo
Passo 5
Soma das parcelas e resultado final:
A área total é