Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas indicadas:
\quad y=-1, \quad y=(x+1)^{2}, \quad x=y-y^{3}, \quad x=-1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, e calcular os pontos de interseção que vamos usar (todos os cálculos de interseção abaixo são feitos a partir das curvas fornecidas).
Curvas dadas:
  • y=-1.
  • y=(x+1)^{2}.
  • x=y-y^{3}.
  • x=-1.
O enunciado pede a área da(s) região(ões) limitada(s) por essas curvas.
Interseções relevantes (encontradas substituindo equações):
  1. Interseção de x=-1 com y=-1: (-1,-1).
  2. Interseção de x=y-y^{3} com y=-1. Substituindo y=-1 em x=y-y^{3}:
x = (-1) - (-1)^{3} = -1 -(-1)=0,
logo o ponto (0,-1).
  1. Interseção de x=y-y^{3} com y=(x+1)^{2}. Para encontrar pontos comuns, ponha x=y-y^{3} na parábola:
y = \bigl((y-y^{3})+1\bigr)^{2} = (1+y-y^{3})^{2}.
Verifica-se que y=1 é solução, e para y=1 temos x=1-1=0. Assim há interseção no ponto (0,1).
  1. Interseção de x=-1 com y=(x+1)^{2}. Substituindo x=-1 obtemos y=0, portanto (-1,0).
Conclusão das interseções usadas: os pontos (-1,-1), (0,-1), (0,1) e (-1,0). Esses quatro pontos são vértices de uma região fechada cujo contorno segue, no sentido horário por exemplo: de (-1,-1) por y=-1 até (0,-1), depois por x=y-y^{3} até (0,1), depois por y=(x+1)^{2} até (-1,0), e finalmente por x=-1 de (-1,0) a (-1,-1). Essa é a região cujo valor de área devemos calcular.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (fórmula usada):
  • Como as fronteiras da região são dadas convenientemente por funções expressas como x=\text{(função de }y)çã ou podem ser escritas assim, é natural integrar em relação a y.
  • Regra de área por fatias horizontais: se para cada y entre y=a e y=b a seção horizontal da região vai de x=x_{\text{esq}}(y) até x=x_{\text{dir}}(y), então a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(x_{\text{dir}}(y)-x_{\text{esq}}(y)\bigr)\,dy.Á
Aqui x_{\text{dir}}(y) é a curva mais à direita e x_{\text{esq}}(y) a mais à esquerda, para cada y no intervalo considerado.
Vamos decompor a região em duas faixas em y:
  • Faixa 1: y\in[-1,0]. Nesta faixa a fronteira esquerda é x=-1 e a fronteira direita é x=y-y^{3}.
  • Faixa 2: y\in[0,1]. Nesta faixa a fronteira direita continua sendo x=y-y^{3}; a fronteira esquerda é a rama direita da parábola. Da parábola y=(x+1)^{2} obtemos
x+1=\pm\sqrt{y}\quad\Rightarrow\quad x=-1\pm\sqrt{y}.
A rama direita é x=-1+\sqrt{y} (essa rama fica entre -1 e 0 para y\in[0,1]), então x_{\text{esq}}(y)=-1+\sqrt{y} e x_{\text{dir}}(y)=y-y^{3} para y\in[0,1].
Portanto a área total é soma de duas integrais horizontais:
A=\int_{-1}^{0}\bigl((y-y^{3})-(-1)\bigr)\,dy \;+\; \int_{0}^{1}\bigl((y-y^{3})-(-1+\sqrt{y})\bigr)\,dy.

Passo 3

Cálculo da primeira integral (faixa y\in[-1,0]):
Montamos a integral:
I_{1}=\int_{-1}^{0}\bigl(y-y^{3}+1\bigr)\,dy.
Calculemos a primitiva termo a termo. Uma primitiva de y é \tfrac{1}{2}y^{2}. Uma primitiva de -y^{3} é -\tfrac{1}{4}y^{4}. Uma primitiva de 1 é y. Assim uma primitiva para todo o integrando é
F(y)=\tfrac{1}{2}y^{2}-\tfrac{1}{4}y^{4}+y.
Agora avaliaremos entre -1 e 0:
I_{1}=F(0)-F(-1)=\bigl(0\bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{2}\cdot(-1)^{2}-\tfrac{1}{4}\cdot(-1)^{4}+(-1)\Bigr) =0-\Bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}-1\Bigr).
Calcule o parêntese:
\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}-1=\tfrac{2}{4}-\tfrac{1}{4}-1=\tfrac{1}{4}-1=-\tfrac{3}{4}.
Então
I_{1}=0-(-\tfrac{3}{4})=\tfrac{3}{4}.

Passo 4

Cálculo da segunda integral (faixa y\in[0,1]):
Montamos a integral:
I_{2}=\int_{0}^{1}\bigl(y-y^{3}+1-\sqrt{y}\bigr)\,dy.
Integramos termo a termo:
  • \displaystyle\int_{0}^{1} y\,dy=\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.
  • \displaystyle\int_{0}^{1} y^{3}\,dy=\left[\tfrac{1}{4}y^{4}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{4}.
  • \displaystyle\int_{0}^{1} 1\,dy=\left[y\right]_{0}^{1}=1.
  • \displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{y}\,dy=\int_{0}^{1} y^{1/2}\,dy=\left[\tfrac{2}{3}y^{3/2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{2}{3}.
Somando com sinal apropriado:
I_{2}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}+1-\tfrac{2}{3}.
Calcule passo a passo:
\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}, \qquad \tfrac{1}{4}+1=\tfrac{5}{4}, \qquad \tfrac{5}{4}-\tfrac{2}{3}=\frac{15}{12}-\frac{8}{12}=\frac{7}{12}.
Logo
I_{2}=\tfrac{7}{12}.

Passo 5

Soma das parcelas e resultado final:
A área total é
A=I_{1}+I_{2}=\tfrac{3}{4}+\tfrac{7}{12}=\frac{9}{12}+\frac{7}{12}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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