Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral dupla
Informações dadas:
- O domínio de integração em
é de a . - O domínio de integração em
é de a . - A função integranda é
.
Passo 2
Estratégia: como os limites formam um retângulo e a integranda é contínua, podemos usar a regra de Fubini e calcular a integral iterada na ordem dada, isto é primeiro integrar em
mantendo
fixo (tratamos
como constante durante a integração em
), depois integrar o resultado em
.
Passo 3
Separe a integral interna e observe que
é constante quando integramos em
. Escrevemos
No segundo termo
é constante em relação a
, então
Passo 4
Calcule as antiderivadas em
.
- A antiderivada de
é porque . - A antiderivada de
é .
Logo
e
Passo 5
Avalie as expressões nos limites
e
.
Portanto a integral interna resulta em função de
:
Passo 6
Agora integramos em
de
a
:
Calcule as antiderivadas em
.
- A antiderivada de
é . - A antiderivada de
é .
Assim
Passo 7
Avalie em
e
:
Resposta
8