Calcule a integral.
\int_{0}^{1} \int_{1}^{2}\left(4 x^{3}-9 x^{2} y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left(4x^{3}-9x^{2}y^{2}\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • O domínio de integração em x é de 1 a 2.
  • O domínio de integração em y é de 0 a 1.
  • A função integranda é 4x^{3}-9x^{2}y^{2}.

Passo 2

Estratégia: como os limites formam um retângulo e a integranda é contínua, podemos usar a regra de Fubini e calcular a integral iterada na ordem dada, isto é primeiro integrar em x mantendo y fixo (tratamos y como constante durante a integração em x), depois integrar o resultado em y.

Passo 3

Separe a integral interna e observe que y é constante quando integramos em x. Escrevemos
\int_{1}^{2}\left(4x^{3}-9x^{2}y^{2}\right)\,dx = \int_{1}^{2}4x^{3}\,dx - \int_{1}^{2}9x^{2}y^{2}\,dx.
No segundo termo 9y^{2} é constante em relação a x, então
\int_{1}^{2}9x^{2}y^{2}\,dx = 9y^{2}\int_{1}^{2}x^{2}\,dx.

Passo 4

Calcule as antiderivadas em x.
  • A antiderivada de 4x^{3} é x^{4} porque \dfrac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.
  • A antiderivada de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}.
Logo
\int_{1}^{2}4x^{3}\,dx = \left[x^{4}\right]_{1}^{2}
e
9y^{2}\int_{1}^{2}x^{2}\,dx = 9y^{2}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = 3y^{2}\left[x^{3}\right]_{1}^{2}.

Passo 5

Avalie as expressões nos limites x=1 e x=2.
\left[x^{4}\right]_{1}^{2} = 2^{4}-1^{4} = 16-1 = 15.
3y^{2}\left[x^{3}\right]_{1}^{2} = 3y^{2}\left(2^{3}-1^{3}\right) = 3y^{2}(8-1)=3y^{2}\cdot7=21y^{2}.
Portanto a integral interna resulta em função de y:
\int_{1}^{2}\left(4x^{3}-9x^{2}y^{2}\right)\,dx = 15-21y^{2}.

Passo 6

Agora integramos em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(15-21y^{2}\right)\,dy = \int_{0}^{1}15\,dy - \int_{0}^{1}21y^{2}\,dy.
Calcule as antiderivadas em y.
  • A antiderivada de 15 é 15y.
  • A antiderivada de 21y^{2} é 21\cdot\dfrac{y^{3}}{3}=7y^{3}.
Assim
\int_{0}^{1}\left(15-21y^{2}\right)\,dy = \left[15y-7y^{3}\right]_{0}^{1}.

Passo 7

Avalie em y=1 e y=0:
\left[15y-7y^{3}\right]_{0}^{1} = (15\cdot1-7\cdot1^{3}) - (15\cdot0-7\cdot0^{3}) = 15-7 = 8.

Resposta

8

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