Calcule a integral dupla.
\iint_{D} 2 x y d A, D é a região triangular com vértices (0,0),(1,2).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} 2xy\,dA
onde D é a região triangular com vértices (0,0) e (1,2). Ou seja:
  • O que se pede: avaliar numericamente \iint_{D} 2xy\,dA.
  • O que o enunciado fornece: os vértices (0,0) e (1,2).
  • Informação faltante e consequência direta: falta um terceiro vértice para definir completamente o triângulo D. Sem esse terceiro vértice a região D não está determinada (existem infinitos triângulos que passam por (0,0) e (1,2)), portanto não é possível calcular um valor numérico único para a integral.

Passo 2

Explicando por que precisamos do terceiro vértice (de forma bem didática).
  • Para calcular uma integral dupla sobre uma região triangular é preciso conhecer a forma e a posição da região no plano. Um triângulo é totalmente determinado por três pontos não colineares.
  • Com só dois pontos dados não se sabe qual é a base, qual é a altura, nem as equações das retas que limitam a região — e a integral depende exatamente dessas retas.
    Conclusão prática: não dá para obter um número final sem o terceiro vértice.

Passo 3

Vou ensinar passo a passo o método padrão (iterado) que se usa quando os três vértices são conhecidos — assim você sabe exatamente o que fazer na prova.
Suponha que os vértices do triângulo sejam A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) e C(x_3,y_3). Passos práticos:
  1. Desenhar os pontos e as três arestas; identificar para cada x (ou cada y) qual é o intervalo entre as duas retas que limitam a região verticalmente (ou horizontalmente).
  2. Escrever uma integral iterada, por exemplo integrando em y primeiro:
\iint_{D} 2xy\,dA = \int_{x=a}^{b} \left( \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} 2xy\,dy \right) dx,
onde y=g_1(x) e y=g_2(x) são as equações das duas arestas que dão os limites em y para cada x, e [a,b] é o intervalo de x do triângulo.
3. Fazer a integral interna em y:
\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} 2xy\,dy = x\left[ y^2 \right]_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} = x\big( g_2(x)^2 - g_1(x)^2 \big).
  1. Ficar então com a integral em x:
\iint_{D} 2xy\,dA = \int_{x=a}^{b} x\big( g_2(x)^2 - g_1(x)^2 \big)\,dx,
que é uma integral unidimensional que se resolve por métodos elementares (polinômios, substituição, integração por partes, conforme necessário).
Observação técnica sobre como obter as funções g_1,g_2: a reta que passa por (x_i,y_i) e (x_j,y_j) tem coeficiente angular
m=\frac{y_j-y_i}{x_j-x_i}
e equação y= m x + b, com b encontrado substituindo um ponto. Assim obtém-se explicitamente g_1(x) e g_2(x).

Passo 4

Uma alternativa elegante e muito útil (quando se quer uma expressão geral) é usar uma transformação afim que leva o triângulo de interesse para o triângulo de referência
T = \{(u,v)\mid 0\le u,\\\ 0\le v,\\ u+v\le 1\}.
Se os vértices são A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3), define-se o mapa afim
(x,y) = (x_1,y_1) + u\big(x_2-x_1,y_2-y_1\big) + v\big(x_3-x_1,y_3-y_1\big),
com jacobiano
J = \det\begin{pmatrix} x_2-x_1 & x_3-x_1 \\[4pt] y_2-y_1 & y_3-y_1 \end{pmatrix}.
Então
\iint_{D} 2xy\,dA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-u} 2x(u,v)\,y(u,v)\,|J|\,dv\,du,
onde x(u,v) e y(u,v) são as componentes da transformação. Essa abordagem é ótima porque transforma a integração sobre um triângulo arbitrário numa integração sobre o triângulo padrão T.]

Passo 5

Aplicando a transformação afim ao caso em que dois vértices são os que você deu: A=(0,0) e B=(1,2), deixando o terceiro vértice genérico C=(x_3,y_3) (não estou inventando, apenas escrevendo a solução em função do vértice faltante).
  • Com A=(0,0) a transformação simplifica para
x = u\cdot 1 + v\cdot x_3 = u + v x_3,\qquad y = u\cdot 2 + v\cdot y_3 = 2u + v y_3.
  • O jacobiano é
J = \det\begin{pmatrix}1 & x_3 \\[4pt] 2 & y_3\end{pmatrix} = y_3 - 2x_3.
  • Substituindo em \iint_{D} 2xy\,dA e integrando sobre T obtém-se (após executar as integrais em v e em u; conto rapidamente os passos de cálculo no papel):
\iint_{D} 2xy\,dA = |y_3-2x_3|\left(\frac{1}{3} + \frac{y_3+2x_3}{12} + \frac{x_3y_3}{6}\right).
  • Agrupando termos com denominador comum:
\iint_{D} 2xy\,dA = |y_3-2x_3|\cdot\frac{4 + y_3 + 2x_3 + 2x_3y_3}{12}.
Essa é a expressão fechada que dá o valor da integral para qualquer escolha do terceiro vértice C=(x_3,y_3) (desde que não seja colinear com A,B, para que o triângulo tenha área não nula). Se o valor de (x_3,y_3) for fornecido, basta substituir na fórmula para obter o número.]

Resposta

Não é possível determinar numericamente a integral porque falta o terceiro vértice do triângulo D.
Para um terceiro vértice genérico C=(x_3,y_3) a integral vale
\iint_{D} 2xy\,dA = |y_3-2x_3|\cdot\frac{4 + y_3 + 2x_3 + 2x_3y_3}{12}.

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