Calcule a integral dupla.
é a região triangular com vértices
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região triangular com vértices
e
. Ou seja:
- O que se pede: avaliar numericamente
. - O que o enunciado fornece: os vértices
e . - Informação faltante e consequência direta: falta um terceiro vértice para definir completamente o triângulo
. Sem esse terceiro vértice a região não está determinada (existem infinitos triângulos que passam por e ), portanto não é possível calcular um valor numérico único para a integral.
Passo 2
Explicando por que precisamos do terceiro vértice (de forma bem didática).
- Para calcular uma integral dupla sobre uma região triangular é preciso conhecer a forma e a posição da região no plano. Um triângulo é totalmente determinado por três pontos não colineares.
- Com só dois pontos dados não se sabe qual é a base, qual é a altura, nem as equações das retas que limitam a região — e a integral depende exatamente dessas retas.
Conclusão prática: não dá para obter um número final sem o terceiro vértice.
Passo 3
Vou ensinar passo a passo o método padrão (iterado) que se usa quando os três vértices são conhecidos — assim você sabe exatamente o que fazer na prova.
Suponha que os vértices do triângulo sejam ,
e
. Passos práticos:
Suponha que os vértices do triângulo sejam
- Desenhar os pontos e as três arestas; identificar para cada
(ou cada ) qual é o intervalo entre as duas retas que limitam a região verticalmente (ou horizontalmente). - Escrever uma integral iterada, por exemplo integrando em
primeiro:
onde
e
são as equações das duas arestas que dão os limites em
para cada
, e
é o intervalo de
do triângulo.
3. Fazer a integral interna em :
3. Fazer a integral interna em
- Ficar então com a integral em
:
que é uma integral unidimensional que se resolve por métodos elementares (polinômios, substituição, integração por partes, conforme necessário).
Observação técnica sobre como obter as funções
: a reta que passa por
e
tem coeficiente angular
e equação
, com
encontrado substituindo um ponto. Assim obtém-se explicitamente
e
.
Passo 4
Uma alternativa elegante e muito útil (quando se quer uma expressão geral) é usar uma transformação afim que leva o triângulo de interesse para o triângulo de referência
Se os vértices são
,
,
, define-se o mapa afim
com jacobiano
Então
onde
e
são as componentes da transformação. Essa abordagem é ótima porque transforma a integração sobre um triângulo arbitrário numa integração sobre o triângulo padrão
.]
Passo 5
Aplicando a transformação afim ao caso em que dois vértices são os que você deu:
e
, deixando o terceiro vértice genérico
(não estou inventando, apenas escrevendo a solução em função do vértice faltante).
- Com
a transformação simplifica para
- O jacobiano é
- Substituindo em
e integrando sobre obtém-se (após executar as integrais em e em ; conto rapidamente os passos de cálculo no papel):
- Agrupando termos com denominador comum:
Essa é a expressão fechada que dá o valor da integral para qualquer escolha do terceiro vértice
(desde que não seja colinear com
, para que o triângulo tenha área não nula). Se o valor de
for fornecido, basta substituir na fórmula para obter o número.]
Resposta
Não é possível determinar numericamente a integral porque falta o terceiro vértice do triângulo
.
Para um terceiro vértice genérico a integral vale
Para um terceiro vértice genérico