Considere a função
a) Calcule o polinômio de Taylor de grau 3,
, que aproxima essa função em torno do ponto
.
b) Mostre qual é a funçāo do erro referente a esse polinômio (
).
c) Calcule o valor da função
, usando
, no ponto
.
b) Mostre qual é a funçāo do erro referente a esse polinômio (
c) Calcule o valor da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) calcular o polinômio de Taylor de grau 3 centrado em
, chamado ; - (b) apresentar a função do erro associada a esse polinômio,
; - (c) usar
para calcular uma aproximação de no ponto .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função e suas derivadas são as derivadas usuais de
. - O centro da expansão é
. - O grau da aproximação é
. - O ponto onde se pede a avaliação é
.
Passo 2
Breve aula: o que é o polinômio de Taylor de grau
centrado em
e a forma do resto (Lagrange).
A definição prática que vamos usar é: o polinômio de Taylor de grau
de uma função
em torno de
é
onde
é a
-ésima derivada de
e
é o fatorial de
.
O resto na forma de Lagrange (que nos diz o erro entre
e
) é dado por: existe
entre
e
tal que
Isto é útil porque permite escrever explicitamente o termo de erro e também obter um limite superior usando uma cota para
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
necessárias até a ordem
(e até a ordem
para o resto):
-
. -
. -
. -
. -
(periodicidade de 4 nas derivadas).
Agora avaliamos estas derivadas em
. Lembrando que
e
:
Passo 4
Montagem do polinômio de Taylor de grau
em torno de
usando a fórmula
Substituindo os valores encontrados:
- termo
: , - termo
: , - termo
: , - termo
: .
Portanto, o polinômio fica
Explicação curta: por causa das derivadas em
sendo zero nos termos ímpares, aparecem apenas os termos constante e quadrático até grau 3.
Passo 5
Agora a função do erro
na forma de Lagrange. Pelo enunciado do resto, existe
entre
e
tal que
Como
, temos
para algum
entre
e
.
Passo 6
Cota do erro (útil para estimar quanto a aproximação pode falhar): como
para todo
, obtemos a estimativa
Isto dá um limite numérico simples para o erro sem precisar conhecer
.
Passo 7
Agora calcular
no ponto
. Primeiro computamos a diferença
Usando
(vou mostrar as contas com casa decimais suficientes para a prova):
Calculamos
:
Agora
Finalmente
Para arredondamento prático (duas ou três casas decimais úteis) pode-se escrever
ou
.
Passo 8
Estimativa do erro naquele ponto usando a cota do Passo 6. Calculamos
e dividimos por
:
Já temos
. Então
e
Logo
ou seja, o valor real
difere de
por menos que cerca de
. Isso confirma que a aproximação numérica acima tem boa precisão para este deslocamento.
Resposta
(a)
(b) para algum
entre
e
. Em particular
.
(c) (aproximadamente
).
(b)
(c)