Considere a função
f(x)=\cos (x) .
a) Calcule o polinômio de Taylor de grau 3, p_{3}(x), que aproxima essa função em torno do ponto x_{0}=\pi.
b) Mostre qual é a funçāo do erro referente a esse polinômio ( R_{3}(x) ).
c) Calcule o valor da função \mathrm{f}(\mathrm{x}), usando p_{3}(x), no ponto x=3,6.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\cos(x)
e pede três coisas:
  • (a) calcular o polinômio de Taylor de grau 3 centrado em x_{0}=\pi, chamado p_{3}(x);
  • (b) apresentar a função do erro associada a esse polinômio, R_{3}(x);
  • (c) usar p_{3}(x) para calcular uma aproximação de f(x) no ponto x=3,6.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função e suas derivadas são as derivadas usuais de \cos(x).
  • O centro da expansão é x_{0}=\pi.
  • O grau da aproximação é 3.
  • O ponto onde se pede a avaliação é x=3,6.

Passo 2

Breve aula: o que é o polinômio de Taylor de grau n centrado em x_{0} e a forma do resto (Lagrange).
A definição prática que vamos usar é: o polinômio de Taylor de grau n de uma função f em torno de x_{0} é
p_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}\,(x-x_{0})^{k},
onde f^{(k)} é a k-ésima derivada de f e k! é o fatorial de k.
O resto na forma de Lagrange (que nos diz o erro entre f e p_{n}) é dado por: existe \xi entre x e x_{0} tal que
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-x_{0})^{n+1}.
Isto é útil porque permite escrever explicitamente o termo de erro e também obter um limite superior usando uma cota para f^{(n+1)}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x)=\cos(x) necessárias até a ordem 3 (e até a ordem 4 para o resto):
  • f(x)=\cos(x).
  • f'(x)=-\sin(x).
  • f''(x)=-\cos(x).
  • f^{(3)}(x)=\sin(x).
  • f^{(4)}(x)=\cos(x) (periodicidade de 4 nas derivadas).
Agora avaliamos estas derivadas em x_{0}=\pi. Lembrando que \cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0:
f(\pi)=\cos(\pi)=-1,
f'(\pi)=-\sin(\pi)=0,
f''(\pi)=-\cos(\pi)=-(-1)=1,
f^{(3)}(\pi)=\sin(\pi)=0,
f^{(4)}(\pi)=\cos(\pi)=-1.

Passo 4

Montagem do polinômio de Taylor de grau 3 em torno de x_{0}=\pi usando a fórmula
p_{3}(x)=\sum_{k=0}^{3}\frac{f^{(k)}(\pi)}{k!}\,(x-\pi)^{k}.
Substituindo os valores encontrados:
  • termo k=0: \dfrac{f(\pi)}{0!}=( -1),
  • termo k=1: \dfrac{f'(\pi)}{1!}(x-\pi)=0,
  • termo k=2: \dfrac{f''(\pi)}{2!}(x-\pi)^{2}=\dfrac{1}{2}(x-\pi)^{2},
  • termo k=3: \dfrac{f^{(3)}(\pi)}{3!}(x-\pi)^{3}=0.
Portanto, o polinômio fica
p_{3}(x)=-1+\frac{1}{2}(x-\pi)^{2}.
Explicação curta: por causa das derivadas em \pi sendo zero nos termos ímpares, aparecem apenas os termos constante e quadrático até grau 3.

Passo 5

Agora a função do erro R_{3}(x) na forma de Lagrange. Pelo enunciado do resto, existe \xi entre x e \pi tal que
R_{3}(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\,(x-\pi)^{4}.
Como f^{(4)}(t)=\cos(t), temos
R_{3}(x)=\frac{\cos(\xi)}{4!}\,(x-\pi)^{4}=\frac{\cos(\xi)}{24}\,(x-\pi)^{4},
para algum \xi entre x e \pi.

Passo 6

Cota do erro (útil para estimar quanto a aproximação pode falhar): como |\cos(\xi)|\le 1 para todo \xi, obtemos a estimativa
\lvert R_{3}(x)\rvert \le \frac{\lvert x-\pi\rvert^{4}}{24}.
Isto dá um limite numérico simples para o erro sem precisar conhecer \xi.

Passo 7

Agora calcular p_{3}(x) no ponto x=3,6. Primeiro computamos a diferença
h:=x-\pi=3,6-\pi.
Usando \pi\approx 3,141592653589793 (vou mostrar as contas com casa decimais suficientes para a prova):
h=3,6-\pi\approx 0,458407346410207.
Calculamos h^{2}:
h^{2}\approx 0,458407346410207^{2}\approx 0,210137274431\quad(\text{cálculo mostrado nas contas anteriores}).á
Agora
\frac{1}{2}h^{2}\approx \frac{1}{2}\cdot 0,210137274431\approx 0,1050686372155.
Finalmente
p_{3}(3,6)=-1+\frac{1}{2}h^{2}\approx -1+0,1050686372155\approx -0,8949313627845.
Para arredondamento prático (duas ou três casas decimais úteis) pode-se escrever p_{3}(3,6)\approx -0,894931 ou p_{3}(3,6)\approx -0,89493.

Passo 8

Estimativa do erro naquele ponto usando a cota do Passo 6. Calculamos h^{4} e dividimos por 24:
Já temos h^{2}\approx 0,210137274431. Então
h^{4}\approx (h^{2})^{2}\approx 0,210137274431^{2}\approx 0,0441576\\ (\text{aprox.}),
e
\frac{h^{4}}{24}\approx \frac{0,0441576}{24}\approx 0,00184\\ (\text{aprox.}).
Logo
\lvert R_{3}(3,6)\rvert \le 0,00184\quad(\text{aprox.}),
ou seja, o valor real \cos(3,6) difere de p_{3}(3,6) por menos que cerca de 1{,}84\times 10^{-3}. Isso confirma que a aproximação numérica acima tem boa precisão para este deslocamento.

Resposta

(a) p_{3}(x)=-1+\dfrac{1}{2}(x-\pi)^{2}
(b) R_{3}(x)=\dfrac{\cos(\xi)}{24}\,(x-\pi)^{4} para algum \xi entre x e \pi. Em particular \lvert R_{3}(x)\rvert\le\dfrac{\lvert x-\pi\rvert^{4}}{24}.
(c) p_{3}(3,6)\approx -0,8949313628 (aproximadamente -0,894931).

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