Considere a equaçāo de Kepler:
onde
é a anomalia média,
é a anomalia excêntrica,
é a excentricidade da órbita do corpo celeste. Através da anomalia excêntrica, é possível obter a posição de um planeta em torno da estrela em cada instante de tempo. Para qualquer valor de
, o trabalho de se encontrar
é equivalente a encontrar um zero da função:
a) Calcule a anomalia excêntrica E usando o método de Newton, quando
e
. Use
e
.
b) Por que o método de Newton é, no caso geral, mais rápido que os outros métodos para encontrar zeros?
b) Por que o método de Newton é, no caso geral, mais rápido que os outros métodos para encontrar zeros?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A equação de Kepler escrita como busca de zero é
- Os valores numéricos dados são:
-
, -
, - chute inicial
, - tolerância
(critério de parada: ).
-
- O que o enunciado pede:
a) Aplicar o método de Newton para calcular a anomalia excêntricacom os dados acima.
b) Explicar por que, em geral, o método de Newton é mais rápido que outros métodos para encontrar zeros.
Passo 2
Apresento a fórmula do método de Newton e explico o porquê dela funcionar (aulas rápidas e práticas).
-
Ideia do método: no ponto
aproximar a função por sua reta tangente e usar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . Isso costuma convergir rápido quando está razoavelmente perto da raiz. -
Fórmula do método de Newton:
Aqui
é a derivada de
avaliada em
. A derivada representa a inclinação da reta tangente a
naquele ponto.
- Para a nossa função
a derivada é
Vou usar o critério de parada
(diferença entre iterações). Em cada iteração vou calcular
e
do ponto atual, avaliar
e
, e atualizar
pela fórmula acima.
Passo 3
Iteração 0 → 1 (a partir de
) — calcular tudo passo a passo.
- Calcular
e . Usando valores conhecidos/aproximação: - Avaliar
e em :
- Atualização de Newton:
Portanto
Passo 4
Iteração 1 → 2 (a partir de
) — mesma rotina.
- Primeiro calcular
e .
Observação útil:, então e . Usando aproximações por séries ou tabela: - Avaliar
e :
- Atualização:
Portanto
Passo 5
Iteração 2 → 3 (a partir de
).
- Calcular
e .
Observação:, então e .
Aproximações: - Avaliar
e :
- Atualização:
Portanto
Passo 6
Iteração 3 → 4 (a partir de
) e verificação do critério de parada.
- Calcular
e .
Observação:, então e .
Aproximações: - Avaliar
e :
- Atualização:
- Diferença entre iterações:
Como a diferença entre iterações já ficou menor que
, paramos aqui. A raiz aproximada é
Passo 7
Comentário didático final sobre as iterações e precisão:
- Observe que as iterações oscilaram (5 → 2,498 → 3,685 → 3,600 → 3,60095) até estabilizar; isso é comum quando o chute inicial não está muito perto da raiz, mas o método ainda converge rapidamente.
- Se fosse necessário maior precisão, bastaria continuar iterando até
menor do que a nova tolerância desejada.
Passo 8
Resposta à parte (b) — explicação didática e comparativa (sem cálculos).
- Por que o método de Newton geralmente é mais rápido:
- Perto da raiz simples, o método de Newton apresenta convergência quadrática: isso significa que o erro em cada iteração aproximadamente se “eleva ao quadrado” quando se aproxima da solução, ou seja, o número de casas corretas dobra a cada iteração (quando já está suficientemente perto). Em termos práticos, isso é muito mais rápido que convergência linear.
- O motivo técnico: Newton usa a derivada
para construir a reta tangente que aproxima localmente a função; essa aproximação de 1ª ordem faz com que o método capture a curvatura da função e corrija o erro muito eficientemente. - Contraste com outros métodos:
- Bisseção: garante convergência global, mas é apenas linear (reduz o erro por fator constante a cada passo), logo é mais lento em precisão.
- Secante: não precisa de derivada e costuma ser mais rápido que bisseção (convergência superlinear), mas ainda geralmente menos rápido que Newton (quando a derivada existe e é fácil de calcular).
- Custo: Newton exige cálculo de derivada; quando
é barato de avaliar (ou conhecido), o ganho de velocidade compensa. Se for caro ou impossível de avaliar, métodos como a secante podem ser preferíveis.
Resposta
(a)
(b) Porque, perto da raiz, o método de Newton apresenta convergência quadrática (o erro diminui muito rapidamente a cada iteração) graças ao uso da derivada para linearizar a função localmente; isso costuma torná-lo muito mais rápido que métodos de convergência linear (como bisseção) ou superlinear sem derivada (como secante), desde que a derivada seja fácil de calcular e a aproximação inicial seja razoável.