Considere a equaçāo de Kepler:
M=E-\operatorname{esen}(E),
onde M é a anomalia média, E é a anomalia excêntrica, e é a excentricidade da órbita do corpo celeste. Através da anomalia excêntrica, é possível obter a posição de um planeta em torno da estrela em cada instante de tempo. Para qualquer valor de M, o trabalho de se encontrar E é equivalente a encontrar um zero da função:
f(E)=M-E+e \operatorname{sen}(E)
a) Calcule a anomalia excêntrica E usando o método de Newton, quando M=4 e e=0,9. Use x_{0}=5 e \epsilon<0,001.
b) Por que o método de Newton é, no caso geral, mais rápido que os outros métodos para encontrar zeros?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A equação de Kepler escrita como busca de zero é
f(E)=M-E+e\sin(E).
  • Os valores numéricos dados são:
    • M=4,
    • e=0,9,
    • chute inicial x_{0}=5,
    • tolerância \epsilon<0,001 (critério de parada: |x_{n+1}-x_n|<\epsilon).
  • O que o enunciado pede:
    a) Aplicar o método de Newton para calcular a anomalia excêntrica E com os dados acima.
    b) Explicar por que, em geral, o método de Newton é mais rápido que outros métodos para encontrar zeros.

Passo 2

Apresento a fórmula do método de Newton e explico o porquê dela funcionar (aulas rápidas e práticas).
  • Ideia do método: no ponto x_n aproximar a função f por sua reta tangente e usar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}. Isso costuma convergir rápido quando x_n está razoavelmente perto da raiz.
  • Fórmula do método de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f'(x_n) é a derivada de f avaliada em x_n. A derivada representa a inclinação da reta tangente a f naquele ponto.
  • Para a nossa função
f(E)=4-E+0,9\sin(E)
a derivada é
f'(E)=-1+0,9\cos(E).
Vou usar o critério de parada |x_{n+1}-x_n|<0,001 (diferença entre iterações). Em cada iteração vou calcular \sin e \cos do ponto atual, avaliar f e f', e atualizar x pela fórmula acima.

Passo 3

Iteração 0 → 1 (a partir de x_0=5) — calcular tudo passo a passo.
  • Calcular \sin(5) e \cos(5). Usando valores conhecidos/aproximação: \sin(5)\approx -0,9589242747,\qquad \cos(5)\approx 0,2836621855.
  • Avaliar f e f' em x_0=5: f(5)=4-5+0,9\sin(5)= -1 + 0,9\cdot(-0,9589242747)\approx -1,8630318472.
f'(5)=-1+0,9\cos(5)=-1+0,9\cdot 0,2836621855\approx -0,7447039660.
  • Atualização de Newton: x_{1}=5-\frac{f(5)}{f'(5)}=5-\frac{-1,8630318472}{-0,7447039660}\approx 5-2,501708\approx 2,498292.
Portanto
x_{1}\approx 2,498292.

Passo 4

Iteração 1 → 2 (a partir de x_1) — mesma rotina.
  • Primeiro calcular \sin(2,498292) e \cos(2,498292).
    Observação útil: 2,498292=\pi-0,64330065, então \sin(2,498292)=\sin(0,64330065) e \cos(2,498292)=-\cos(0,64330065). Usando aproximações por séries ou tabela: \sin(2,498292)\approx 0,599830,\qquad \cos(2,498292)\approx -0,800220.
  • Avaliar f e f': f(2,498292)=4-2,498292+0,9\cdot 0,599830\approx 1,501708+0,539847\approx 2,041555.
f'(2,498292)=-1+0,9\cdot(-0,800220)\approx -1-0,720198\approx -1,720198.
  • Atualização: x_{2}=2,498292-\frac{2,041555}{-1,720198}\approx 2,498292+1,186820\approx 3,685112.
Portanto
x_{2}\approx 3,685112.

Passo 5

Iteração 2 → 3 (a partir de x_2).
  • Calcular \sin(3,685112) e \cos(3,685112).
    Observação: 3,685112=\pi+0,54351935, então \sin(3,685112)=-\sin(0,54351935) e \cos(3,685112)=-\cos(0,54351935).
    Aproximações: \sin(3,685112)\approx -0,517156,\qquad \cos(3,685112)\approx -0,855930.
  • Avaliar f e f': f(3,685112)=4-3,685112+0,9\cdot(-0,517156)\approx 0,314888-0,465440\approx -0,150552.
f'(3,685112)=-1+0,9\cdot(-0,855930)\approx -1-0,770337\approx -1,770337.
  • Atualização: x_{3}=3,685112-\frac{-0,150552}{-1,770337}=3,685112-\frac{0,150552}{1,770337}\approx 3,685112-0,085040\approx 3,600072.
Portanto
x_{3}\approx 3,600072.

Passo 6

Iteração 3 → 4 (a partir de x_3) e verificação do critério de parada.
  • Calcular \sin(3,600072) e \cos(3,600072).
    Observação: 3,600072=\pi+0,45847935, então \sin(3,600072)=-\sin(0,45847935) e \cos(3,600072)=-\cos(0,45847935).
    Aproximações: \sin(3,600072)\approx -0,442590,\qquad \cos(3,600072)\approx -0,896758.
  • Avaliar f e f': f(3,600072)=4-3,600072+0,9\cdot(-0,442590)\approx 0,399928-0,398331\approx 0,001597.
f'(3,600072)=-1+0,9\cdot(-0,896758)\approx -1-0,807082\approx -1,807082.
  • Atualização: x_{4}=3,600072-\frac{0,001597}{-1,807082}\approx 3,600072+0,000885\approx 3,600957.
  • Diferença entre iterações: |x_{4}-x_{3}|\approx |3,600957-3,600072|\approx 0,000885<0,001.
Como a diferença entre iterações já ficou menor que \epsilon=0,001, paramos aqui. A raiz aproximada é
E\approx 3,600957.

Passo 7

Comentário didático final sobre as iterações e precisão:
  • Observe que as iterações oscilaram (5 → 2,498 → 3,685 → 3,600 → 3,60095) até estabilizar; isso é comum quando o chute inicial não está muito perto da raiz, mas o método ainda converge rapidamente.
  • Se fosse necessário maior precisão, bastaria continuar iterando até |x_{n+1}-x_n| menor do que a nova tolerância desejada.

Passo 8

Resposta à parte (b) — explicação didática e comparativa (sem cálculos).
  • Por que o método de Newton geralmente é mais rápido:
    • Perto da raiz simples, o método de Newton apresenta convergência quadrática: isso significa que o erro em cada iteração aproximadamente se “eleva ao quadrado” quando se aproxima da solução, ou seja, o número de casas corretas dobra a cada iteração (quando já está suficientemente perto). Em termos práticos, isso é muito mais rápido que convergência linear.
    • O motivo técnico: Newton usa a derivada f'(x) para construir a reta tangente que aproxima localmente a função; essa aproximação de 1ª ordem faz com que o método capture a curvatura da função e corrija o erro muito eficientemente.
    • Contraste com outros métodos:
      • Bisseção: garante convergência global, mas é apenas linear (reduz o erro por fator constante a cada passo), logo é mais lento em precisão.
      • Secante: não precisa de derivada e costuma ser mais rápido que bisseção (convergência superlinear), mas ainda geralmente menos rápido que Newton (quando a derivada existe e é fácil de calcular).
    • Custo: Newton exige cálculo de derivada; quando f' é barato de avaliar (ou conhecido), o ganho de velocidade compensa. Se f' for caro ou impossível de avaliar, métodos como a secante podem ser preferíveis.

Resposta

(a) E\approx 3,600957
(b) Porque, perto da raiz, o método de Newton apresenta convergência quadrática (o erro diminui muito rapidamente a cada iteração) graças ao uso da derivada para linearizar a função localmente; isso costuma torná-lo muito mais rápido que métodos de convergência linear (como bisseção) ou superlinear sem derivada (como secante), desde que a derivada seja fácil de calcular e a aproximação inicial seja razoável.

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