Calcule a integral dupla:
\iint_{R} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1} d A, \quad R=[0,2] \times[1,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\,dA,
no retângulo R=[0,2]\times[1,2].
Informações relevantes fornecidas:
  • A região R é o produto x\in[0,2] e y\in[1,2].
  • A função integranda é f(x,y)=\dfrac{x y^{2}}{x^{2}+1}.
  • Os limites são constantes (retângulo), portanto a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada com ordem de integração à escolha.

Passo 2

Motivação do método: como f(x,y)=\dfrac{x y^{2}}{x^{2}+1} é contínua em todo o retângulo R (o denominador x^{2}+1 nunca é zero), vale o teorema que permite trocar a integral dupla por integrais iteradas (Fubini). Então podemos escrever, por exemplo,
\iint_{R} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\,dA = \int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=0}^{2} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\,dx\right)dy.
Escolhi integrar primeiro em x porque, ao olhar para a integranda, y^{2} é constante em relação a x e isso simplifica bastante os cálculos.

Passo 3

Colocando y^{2} fora da integral interna (já que é constante em x):
\int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=0}^{2} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\,dx\right)dy = \int_{y=1}^{2} y^{2}\!\left(\int_{x=0}^{2} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx\right)dy.
Agora o meu objetivo é calcular a integral interna
I:=\int_{0}^{2} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 4

Cálculo de I por substituição. Use a substituição \,u=x^{2}+1\,. Então:
  • \,du = 2x\,dx\,, portanto \,x\,dx = \dfrac{du}{2}.
  • Quando x=0 temos u=0^{2}+1=1.
  • Quando x=2 temos u=2^{2}+1=5.
Substituindo,
I=\int_{x=0}^{2} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \int_{u=1}^{5} \frac{1}{u}\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{5} \frac{1}{u}\,du.
A primitiva de u^{-1} é \ln u. Assim,
I=\frac{1}{2}\big[\ln u\big]_{1}^{5} =\frac{1}{2}\big(\ln 5 - \ln 1\big) =\frac{1}{2}\ln 5,
pois \ln 1=0.

Passo 5

Volto à integral externa, substituindo o valor de I:
\iint_{R} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\,dA = \int_{y=1}^{2} y^{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\ln 5\right) dy = \frac{1}{2}\ln 5 \int_{1}^{2} y^{2}\,dy.
Calculo agora \int_{1}^{2} y^{2}\,dy. A primitiva de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}, logo
\int_{1}^{2} y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3}.

Passo 6

Multiplicando os fatores:
\iint_{R} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1}\,dA = \frac{1}{2}\ln 5 \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{6}\ln 5.
Pronto — resultado obtido de forma direta porque a separação das variáveis facilitou muito.

Resposta

\dfrac{7}{6}\ln 5

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