Calcule a integral dupla:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
no retângulo
.
Informações relevantes fornecidas:
- A região
é o produto e . - A função integranda é
. - Os limites são constantes (retângulo), portanto a integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada com ordem de integração à escolha.
Passo 2
Motivação do método: como
é contínua em todo o retângulo
(o denominador
nunca é zero), vale o teorema que permite trocar a integral dupla por integrais iteradas (Fubini). Então podemos escrever, por exemplo,
Escolhi integrar primeiro em
porque, ao olhar para a integranda,
é constante em relação a
e isso simplifica bastante os cálculos.
Passo 3
Colocando
fora da integral interna (já que é constante em
):
Agora o meu objetivo é calcular a integral interna
Passo 4
Cálculo de
por substituição. Use a substituição
. Então:
-
, portanto . - Quando
temos . - Quando
temos .
Substituindo,
A primitiva de
é
. Assim,
pois
.
Passo 5
Volto à integral externa, substituindo o valor de
:
Calculo agora
. A primitiva de
é
, logo
Passo 6
Multiplicando os fatores:
Pronto — resultado obtido de forma direta porque a separação das variáveis facilitou muito.